Zadanie 5
Matura z informatyki, maj 2025, poziom rozszerzony
Wymaganie: P.I.2) stosuje przy rozwiązywaniu problemów z różnych dziedzin algorytmy poznane w szkole podstawowej oraz algorytmy: a) na liczbach: […] zamiany reprezentacji liczb między pozycyjnymi systemami liczbowymi […]. I+II.2) wykorzystuje znane sobie algorytmy przy rozwiązywaniu i programowaniu rozwiązań następujących problemów: b) wykonywania działań na liczbach w systemach innych niż dziesiętny.
Treść zadania
Zadanie 5. (0–2)
Poniżej sposobem pisemnym dodano dwie liczby podane w zapisie binarnym. Uzupełnij brakujące cyfry tak, aby działanie było wykonane poprawnie.
1 1 _ 0 1 0 1 1 0 _ 1
+ 1 1 0 0 _ 1 0 1 1 1
─────────────────────────
1 _ 0 1 1 0 0 1 _ _ 1 0
(puste pola _ to brakujące cyfry binarne do uzupełnienia)
Źródło: arkusz CKE MINP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF
Rozwiązanie
Odpowiedź z zasad oceniania CKE (uzupełnione cyfry w nawiasach kwadratowych):
1 1 [0] 0 1 0 1 1 0 [1] 1
+ 1 1 0 0 [1] 1 0 1 1 1
─────────────────────────
1 [0] 0 1 1 0 0 1 [0] [0] 1 0
Pierwsza liczba: 11001011011₂, druga: 1100110111₂, suma: 100110010010₂.
Sprawdzenie w systemie dziesiętnym: 11001011011₂ = 1627, 1100110111₂ = 823, 1627 + 823 = 2450 = 100110010010₂. ✓
Metoda: idziemy od najmłodszej cyfry (od prawej). Na każdej pozycji obowiązuje równość a + b + p = s + 2·p', gdzie p to przeniesienie z poprzedniej pozycji, a p' – przeniesienie na następną. Pozycje numerujemy od prawej, od 0. Na każdej pozycji brakuje co najwyżej jednej cyfry, więc da się ją wyznaczyć:
- pozycja 0: 1 + 1 = 10₂ → cyfra 0, przeniesienie 1;
- pozycja 1: luka w pierwszej liczbie, w wyniku jest 1: ? + 1 + 1 daje cyfrę 1 tylko dla ? = 1 (przeniesienie 1);
- pozycje 2 i 3: 0 + 1 + 1 oraz 1 + 0 + 1 dają cyfry wyniku 0 i 0 (przeniesienie 1);
- pozycja 5: 0 + ? + 1 ma dać 0, więc w drugiej liczbie ? = 1;
- pozycja 8: ? + 1 + 0 ma dać 1, więc w pierwszej liczbie ? = 0;
- pozycja 10: 1 + 0 + 1 = 10₂ → w wyniku 0, a przeniesienie daje początkową jedynkę wyniku.
Uwaga na przeniesienie: każda kolumna może dostać 1 z poprzedniej, a przy trzech jedynkach (1 + 1 + 1) cyfra wyniku to 1 i przeniesienie 1. Składniki mają różną długość — krótszy wyrównujemy do prawej. Suma dwóch liczb 11-cyfrowych może mieć 12 cyfr, jak tutaj. Wynik zawsze sprawdź, przeliczając liczby na system dziesiętny.
Strona arkusza CKE z treścią zadania
Rozwiązanie krok po kroku
Metoda dodawania pisemnego w systemie binarnym
Dla każdej kolumny i (od prawej): A_i + B_i + carry_in = bit_wyniku + 2 · carry_out.
- 0+0 = 0, c=0
- 0+1 = 1, c=0
- 1+1 = 10 → bit 0, c=1
- 1+1+1 = 11 → bit 1, c=1
Iterujemy od najmłodszej kolumny, w każdej z nich:
- Jeśli znane są 3 z 4 wartości (A_i, B_i, S_i, c_in), wyliczamy czwartą.
- Wyznaczamy c_out i przekazujemy do następnej kolumny.
Po przejściu wszystkich kolumn sprawdzamy, czy c_out z najstarszej pozycji jest zgodny z dodatkową cyfrą wyniku (jeśli wynik ma o jeden bit więcej niż składniki).
Rozumiesz, jak to rozwiązać?
Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji
matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „system binarny, dodawanie pisemne, system pozycyjny, arytmetyka komputerowa” zrobisz samodzielnie.
Otwórz matury-online.pl