MFAP-R0-100-2505 • Otwarte rozszerzone • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 12

Matura z fizyki, maj 2025, poziom rozszerzony

Wymaganie:

12.1: I.2, XII.5, XII.6, XII.9 — skład jądra, zapis reakcji jądrowych z zachowaniem liczby nukleonów i ładunku, rozpad alfa. 12.2: II.15, II.20, XII.5, XII.9 — zasada zachowania pędu, energia kinetyczna, rozpad alfa. 12.3: I.4, I.15, II.20, VI.2, XII.12 — moc, czas połowicznego rozpadu, liczba jąder pozostających w próbce, wynik z zadaną liczbą cyfr znaczących.

Treść zadania

Izotop plutonu $_{94}^{238} Pu$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $α$ . Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $α$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako $X$ .

Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $α$ :

iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $α$ wynosi w zaokrągleniu $\frac{m _{X}}{m _{α}} \approx 58, 5$
w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu $_{94}^{238} Pu$ było nieruchome
wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $α$ — powstałych po rozpadzie jądra plutonu — są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

Zadanie 12.1. (0–2) Uzupełnij schemat rozpadu $α$ jądra plutonu $_{94}^{238} Pu$ tak, aby powstało równanie rozpadu. Wpisz w wykropkowane miejsca w schemacie właściwe liczby: atomową i masową, a pod schematem — symbol (lub nazwę) pierwiastka X, którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

Zadanie 12.2. (0–3) Energie kinetyczne jądra pierwiastka X i cząstki $α$ , tuż po rozpadzie jądra $_{94}^{238} Pu$ , oznaczymy — odpowiednio — jako $E_{kin X}$ i $E_{kin α}$ .

Oblicz iloraz $\frac{E _{kin X}}{E _{kin α}}$ . Zapisz obliczenia. Skorzystaj z zasady zachowania pędu.

Zadanie 12.3. (0–3) Próbka $Z$ zawierająca izotop plutonu $_{94}^{238} Pu$ wytwarza energię w postaci ciepła na skutek rozpadu promieniotwórczego tego izotopu plutonu. Moc cieplną generowaną przez tę próbkę oznaczymy jako $P$ .

Próbka $Z$ — w pewnej chwili $t_{0}$ — wytwarzała moc cieplną równą $P_{0} = 100 J/s$ . Dokładnie po czasie $t = 5$ lat od chwili $t_{0}$ moc cieplna spadła do wartości $P_{t} = 96, 13 J/s$ .

Przyjmij, że moc cieplna wytwarzana przez próbkę $Z$ jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu $_{94}^{238} Pu$ pozostających w próbce $Z$ .

Oblicz $T$ — czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu $_{94}^{238} Pu$ . Wynik podaj w latach, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

12.1. Z zasad zachowania liczby atomowej i masowej:

Liczba masowa: $238 = A_{X} + 4$ → $A_{X} = 234$
Liczba atomowa: $94 = Z_{X} + 2$ → $Z_{X} = 92$

Pierwiastek o $Z = 92$ to uran (U). Równanie rozpadu:
$_{94}^{238} Pu \to_{92}^{234} U +_{2}^{4} α$

12.2. Z zasady zachowania pędu (układ początkowo spoczynkowy): $0 = m_{X} v_{X} + m_{α} v_{α}$ ,
więc $m_{X} v_{X} = m_{α} v_{α}$ (co do wartości bezwzględnej, kierunki przeciwne).

Stąd $v_{X} / v_{α} = m_{α} / m_{X}$ .

Energia kinetyczna: $E_{kin} = \frac{p ^{2}}{2 m}$ . Ponieważ wartości pędów są równe ( $p_{X} = p_{α}$ ):
$\frac{E _{kin X}}{E _{kin α}} = \frac{p ^{2} / ( 2 m _{X} )}{p ^{2} / ( 2 m _{α} )} = \frac{m _{α}}{m _{X}} = \frac{1}{58 , 5} \approx 0, 0171$

12.3. Moc cieplna jest proporcjonalna do liczby jąder: $P (t) = P_{0} \cdot 2^{- t / T}$ .

Podstawiamy: $\frac{P _{t}}{P _{0}} = 0, 9613 = 2^{- 5/ T}$ , więc:
$- \frac{5}{T} = lo g_{2} 0, 9613 = \frac{lo g _{10} 0 , 9613}{lo g _{10} 2} = \frac{- 0 , 01714}{0 , 30103} \approx - 0, 05694$

$T = \frac{5 lat}{0 , 05694} \approx 87, 8 lat \approx 88 lat$

Wartość zgodna z literaturą: $T_{1/2} (^{238} Pu) \approx 87, 7$ lat.

Typowy błąd / pułapka

Błędy, na które warto uważać: zły pierwiastek X (np. tor lub neptun zamiast uranu), pomylenie zasady zachowania pędu z zasadą zachowania energii ( $E_{k} \neq = m v$ , tylko $\frac{1}{2} m v^{2}$ albo $p^{2} /2 m$ ; po rozpadzie równe są wartości pędów, a nie energie kinetyczne — lżejsza cząstka $α$ ma większą energię), użycie wzoru $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ bez przeliczenia $λ = ln 2/ T$ , błąd jednostek czasu. W 12.3 zasady oceniania dopuszczają wynik niezaokrąglony, jeśli po zaokrągleniu daje 88 lat.

Zadanie 12 z arkusza maturalnego CKE 2025 maj PR fizyka — rozpad alfa plutonu, czas połowicznego rozpadu — Zadanie 12 — arkusz maturalny CKE, maj 2025, fizyka, poziom rozszerzony Na podstawie: CKE 2025 Oryginalny PDF CKE, str. 26

Rozwiązanie krok po kroku

12.1 — pierwiastek X

Z bilansu liczb atomowej i masowej: $X =_{92}^{234} U$ (uran-234).

12.2 — pędy i energie

Pędy są równe co do wartości; $E_{k} = p^{2} /2 m$ → stosunek energii odwrotnie proporcjonalny do mas.

12.3 — czas połowicznego rozpadu

$P (t) / P_{0} = 2^{- t / T}$ → $T = 5/ lo g_{2} (P_{0} / P_{t}) \approx 88$ lat.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „fizyka jądrowa, rozpad alfa, zasada zachowania pędu, czas połowicznego rozpadu” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl