MFAP-R0-100-2305 • Otwarte rozszerzone • 7 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 5

Matura z fizyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

Wymagania szczegółowe (zasady oceniania CKE): 5.1 — II.3) ruchy postępowe opisane wielkościami wektorowymi (przyspieszenie); II.13) zasady dynamiki; IV.1) prawo powszechnego ciążenia; IV.3) wpływ siły grawitacji na niejednostajny ruch po orbitach eliptycznych. 5.2 — II.6) moment pędu punktu materialnego; II.7) zasada zachowania momentu pędu; IV.6) II prawo Keplera jako konsekwencja zasady zachowania momentu pędu. 5.3 — I.2) korzystanie z materiałów pomocniczych, w tym karty wzorów; IV.3) ruch po orbitach eliptycznych. 5.4 — IV.4) siła grawitacji jako siła dośrodkowa w ruchu po orbicie kołowej; IV.5) III prawo Keplera jako konsekwencja prawa powszechnego ciążenia.

Treść zadania

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S 2} = 16$ lat ziemskich
najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{P} = 120 au$
największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{A} = 1820 au$ .

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $v$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Zadanie 5.1. (0–1)

Na rysunku 2. narysuj wektor przyśpieszenia $a$ środka gwiazdy S2 w oznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora (długość może być dowolna).

Zadanie 5.2. (0–1)

Wartość prędkości środka S2 w punkcie $P$ orbity (rysunek 1. na stronie 12) oznaczymy jako $v_{P}$ , a wartość prędkości środka S2 w punkcie $A$ orbity oznaczymy jako $v_{A}$ . Prędkość środka S2 w punkcie $P$ lub w punkcie $A$ jest prostopadła do promienia wodzącego (odcinka łączącego środki S2 i Sgr A*).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz $\frac{v _{P}}{v _{A}}$ jest równy (w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących):

\frac{v _{P}}{v _{A}} \approx 0, 00435

\frac{v _{P}}{v _{A}} \approx 0, 0659

\frac{v _{P}}{v _{A}} \approx 15, 2

\frac{v _{P}}{v _{A}} \approx 230

Informacja do zadań 5.3.–5.4.

Załóżmy, że ciało $C_{1}$ krąży po orbicie $O_{1}$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{1}$ , a ciało $C_{2}$ krąży po orbicie $O_{2}$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{2}$ . Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_{1}$ i $M_{2}$ można obliczyć ze wzoru:

$\frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$

gdzie: $T_{1}$ i $T_{2}$ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – $O_{1}$ i $O_{2}$ , natomiast $a_{1}$ i $a_{2}$ zależą od rodzaju orbity:

gdy orbity $O_{1}$ i $O_{2}$ są kołowe, to $a_{1}$ i $a_{2}$ są odpowiednio promieniami tych orbit
gdy orbita $O_{1}$ jest eliptyczna, a orbita $O_{2}$ jest kołowa, to $a_{1}$ jest długością półosi wielkiej orbity $O_{1}$ , natomiast $a_{2}$ jest promieniem orbity $O_{2}$ .

Zadanie 5.3. (0–2)

Masę obiektu Sgr A* oznaczymy jako $M_{S A}$ , a masę Słońca oznaczymy jako $M_{S}$ . Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_{Z} = 1, 0 au$ z okresem obiegu $T_{Z} = 1, 0 rok$ . Długość półosi wielkiej orbity gwiazdy S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1. (strona 12), jest równa $\frac{∣ P A ∣}{2}$ .

Oblicz iloraz $\frac{M _{S A}}{M _{S}}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Zadanie 5.4. (0–3)

Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3.–5.4. w przypadku, gdy orbity $O_{1}$ i $O_{2}$ są kołowe.

Rysunek 1: eliptyczna orbita gwiazdy S2 wokół Sgr A* z wektorem prędkości v, punktami P i A oraz odległościami r_P, r_A i połową długości |PA|. — Rysunek 1. Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 12

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Zadanie 5.1.

Przyspieszenie grawitacyjne S2 zawsze skierowane jest od środka S2 ku środkowi Sgr A* (centrum siły). Wektor $a$ rysujemy w środku S2, skierowany wzdłuż linii łączącej oba środki, ku Sgr A* (czyli ku ognisku elipsy, w którym leży Sgr A*).

Zadanie 5.2.

W punktach $P$ (najbliżej Sgr A*) i $A$ (najdalej od Sgr A*) prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc z zasady zachowania momentu pędu:

$L = m \cdot v_{P} \cdot r_{P} = m \cdot v_{A} \cdot r_{A}$

$\frac{v _{P}}{v _{A}} = \frac{r _{A}}{r _{P}} = \frac{1820}{120} \approx 15, 17 \approx 15, 2$

Odpowiedź: C.

Zadanie 5.3.

Półoś wielka orbity S2:

$a_{S 2} = \frac{r _{P} + r _{A}}{2} = \frac{120 + 1820}{2} = 970 au$

Korzystamy ze wzoru z informacji do zadań 5.3.–5.4. (wynika on z III prawa Keplera, w którym masę krążącego ciała pomijamy wobec masy centrum):

$\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}$

Dla Ziemi wokół Słońca i S2 wokół Sgr A*:

$\frac{T _{S 2}^{2}}{a _{S 2}^{3}} \cdot M_{S A} = \frac{T _{Z}^{2}}{a _{Z}^{3}} \cdot M_{S}$

$\frac{M _{S A}}{M _{S}} = \frac{a _{S 2}^{3} / T _{S 2}^{2}}{a _{Z}^{3} / T _{Z}^{2}} = (\frac{a _{S 2}}{a _{Z}})^{3} \cdot (\frac{T _{Z}}{T _{S 2}})^{2}$

$\frac{M _{S A}}{M _{S}} = \frac{97 0 ^{3}}{1 ^{3}} \cdot \frac{1 ^{2}}{1 6 ^{2}} = \frac{97 0 ^{3}}{256}$

$97 0^{3} = 9, 13 \cdot 1 0^{8}$ (dokładniej: $97 0^{3} = 912673000$ ).

$\frac{M _{S A}}{M _{S}} = \frac{9 , 127 \cdot 1 0 ^{8}}{256} \approx 3, 565 \cdot 1 0^{6}$

Odpowiedź: $\frac{M _{S A}}{M _{S}} \approx 3, 6 \cdot 1 0^{6}$ (Sgr A* ma masę ok. 3,6 miliona mas Słońca).

Zadanie 5.4.

Dla orbity kołowej siła grawitacji centrum pełni rolę siły dośrodkowej, a prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu wynosi $v_{i} = \frac{2 π a _{i}}{T _{i}}$ :

$\frac{m _{i} v _{i}^{2}}{a _{i}} = \frac{G m _{i} M _{i}}{a _{i}^{2}} \Rightarrow \frac{4 π ^{2} a _{i}}{T _{i}^{2}} = \frac{G M _{i}}{a _{i}^{2}} \Rightarrow M_{i} = \frac{4 π ^{2}}{G} \cdot \frac{a _{i}^{3}}{T _{i}^{2}}$

dla $i = 1, 2$ . Dzieląc stronami:

$\frac{M _{1}}{M _{2}} = \frac{a _{1}^{3} T _{2}^{2}}{a _{2}^{3} T _{1}^{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$

Typowy błąd / pułapka

III prawo Keplera w postaci $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3}$ — $M$ to masa ciała centralnego (masę ciała krążącego pomijamy, bo jest od niej dużo mniejsza).
Półoś wielka $a = (r_{P} + r_{A}) /2$ , NIE $r_{A} - r_{P}$ ani $r_{A}$ same.
W punktach $P$ i $A$ orbity $v ⊥ r$ — zachowanie momentu pędu daje proste $v_{P} r_{P} = v_{A} r_{A}$ .
Stosunki $a_{S 2} / a_{Z}$ i $T_{Z} / T_{S 2}$ są BEZWYMIAROWE — można liczyć w au i latach, bez zamiany na jednostki SI.

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 5 - fizyka 2023 PR — Strona arkusza CKE 2023 PR fizyka - zadanie 5. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 12

Rozwiązanie

Zadanie 5.1.

Wektor przyspieszenia $a$ skierowany od S2 do Sgr A* (siła grawitacji = siła centralna).

Zadanie 5.2.

Z zachowania momentu pędu: $v_{P} r_{P} = v_{A} r_{A}$ .

$\frac{v _{P}}{v _{A}} = \frac{r _{A}}{r _{P}} = \frac{1820}{120} \approx 15, 2 \Rightarrow odp. C$

Zadanie 5.3.

Półoś wielka: $a_{S 2} = 970$ au.

III prawo Keplera:

$\frac{M _{S A}}{M _{S}} = (\frac{970}{1})^{3} \cdot (\frac{1}{16})^{2} = \frac{912 , 7 \cdot 1 0 ^{6}}{256} \approx 3, 6 \cdot 1 0^{6}$

Zadanie 5.4.

Siła grawitacji = siła dośrodkowa, $v_{i} = 2 π a_{i} / T_{i}$ :

$M_{i} = \frac{4 π ^{2}}{G} \cdot \frac{a _{i}^{3}}{T _{i}^{2}} \Rightarrow \frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „grawitacja, ruch orbitalny, III prawo Keplera, prawo powszechnego ciążenia, orbita eliptyczna, czarna dziura supermasywna, Sagittarius A” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl