MFAP-R0-100-2305 • Otwarte rozszerzone • 7 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 7

Matura z fizyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

Wymagania szczegółowe (zasady oceniania CKE): II.9) związki między promieniem okręgu, prędkością kątową, prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym (7.1); IX.2) wektor indukcji magnetycznej, siła Lorentza; IX.3) tor cząstki naładowanej w jednorodnym polu magnetycznym; II.13) zasady dynamiki i II.20) praca, energia kinetyczna (7.2).

Treść zadania

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $A F$ , $FB$ , $BE$ , $EC$ , $C D$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{A F}$ , $B_{FB}$ , $B_{BE}$ , $B_{EC}$ , $B_{C D}$ .

W chwili początkowej $t_{A} = 0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $v$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$ . Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $A F$ wynosiła $B_{A F} = 0, 2 T$ . Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równości: $∣ A B ∣ = ∣ BC ∣ = ∣ CS ∣ = ∣ S D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ EF ∣$ oraz $∣ A D ∣ = 1 m$ .

Na rysunku punkty $A, B, C, S, D, E, F$ leżą kolejno na osi $x$ , a prędkość $v$ w punkcie $A$ jest prostopadła do osi $x$ i zwrócona w górę rysunku. Półokręgi $A F$ , $BE$ , $C D$ leżą nad osią $x$ , a półokręgi $FB$ , $EC$ – pod nią.

W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Zadanie 7.1. (0–2)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Nr	Stwierdzenie	P/F
1.	Wektor indukcji pola magnetycznego wzdłuż całego toru ruchu protonu ma zwrot przed płaszczyznę rysunku (tzn. w stronę patrzącego).	P / F
2.	Wartość siły magnetycznej Lorentza działającej na proton jest stała na całej długości toru od punktu $A$ do punktu $D$ .	P / F
3.	Czas ruchu protonu po każdym z półokręgów $A F$ , $FB$ , $BE$ , $EC$ , $C D$ jest taki sam.	P / F

Zadanie 7.2. (0–2)

Wykaż, że wartość prędkości protonu w ruchu po każdym z półokręgów jest stała. Powołaj się na:

odpowiednie własności siły działającej na proton oraz
zasady dynamiki albo odpowiednie twierdzenie o energii kinetycznej.

Zadanie 7.3. (0–3)

Oblicz wartość $B_{C D}$ wektora indukcji pola magnetycznego działającego na proton, gdy poruszał się on po półokręgu $C D$ . Zapisz obliczenia. Wskazówka: Wartość prędkości protonu poruszającego się po torze $A FBEC D$ była stała.

Rysunek toru protonu złożonego z półokręgów AF, FB, BE, EC i CD, z punktami A, B, C, S, D, E, F na osi x, prędkością v w punkcie A i odległością |AD| = 1 m. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Zadanie 7.1.

W punkcie $A$ prędkość $v$ jest zwrócona w górę rysunku, a środek półokręgu $A F$ leży na prawo od $A$ – siła Lorentza $F = q v \times B$ (siła dośrodkowa) musi więc działać w prawo. Dla ładunku dodatniego z reguły prawej dłoni wynika, że $B$ ma zwrot przed płaszczyznę rysunku (w stronę patrzącego). Proton na całym torze skręca w tę samą stronę (zgodnie z ruchem wskazówek zegara: $A \to F$ górą, $F \to B$ dołem, $B \to E$ górą itd.), więc zwrot $B$ jest taki sam na wszystkich półokręgach.

Zwrot przed płaszczyznę rysunku na całym torze. P
Siła Lorentza $F = q v B$ . Wartość prędkości $v$ jest stała, ale $B$ jest różne na różnych półokręgach, więc $F$ jest różna. F
Czas ruchu po półokręgu: $t = π r / v$ . Promienie półokręgów są różne, a $v$ stała, więc czasy są różne. F

Odpowiedź: P, F, F.

Zadanie 7.2.

Siła Lorentza $F_{L} = q v \times B$ jest zawsze prostopadła do prędkości $v$ . Z twierdzenia o energii kinetycznej:

$Δ E_{k} = W = \int F \cdot d s$

Ponieważ $d s ∥ v$ , a $F_{L} ⊥ v$ , mamy $F_{L} \cdot d s = 0$ , czyli siła nie wykonuje pracy. Zatem $Δ E_{k} = 0$ , więc $v = const$ . Wartość prędkości protonu jest stała na każdym półokręgu.

Zadanie 7.3.

Odcinek $A D$ składa się z 4 równych odcinków ( $A B$ , $BC$ , $CS$ , $S D$ ), więc każdy z nich ma długość $\frac{1}{4} m = 0, 25 m$ .

Promienie półokręgów (połowy średnic):

$A F$ : średnica $∣ A F ∣ = 6 \cdot 0, 25 m = 1, 5 m$ , więc $r_{A F} = 0, 75 m = \frac{3}{4} ∣ A D ∣$ .
$C D$ : średnica $∣ C D ∣ = ∣ CS ∣ + ∣ S D ∣ = 0, 5 m$ , więc $r_{C D} = 0, 25 m = \frac{1}{4} ∣ A D ∣$ .

Z warunku ruchu po okręgu (siła Lorentza = siła dośrodkowa):

$q v B = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow B = \frac{m v}{q r}$

Wartość prędkości jest stała, więc $B_{A F} r_{A F} = B_{C D} r_{C D}$ (przy stałych $m, v, q$ ):

$\frac{B _{C D}}{B _{A F}} = \frac{r _{A F}}{r _{C D}}$

$B_{C D} = B_{A F} \cdot \frac{r _{A F}}{r _{C D}} = 0, 2 T \cdot \frac{0 , 75 m}{0 , 25 m} = 0, 2 T \cdot 3 = 0, 6 T$

Odpowiedź: $B_{C D} = 0, 6 T$ .

Typowy błąd / pułapka

Siła Lorentza ZAWSZE prostopadła do prędkości → praca = 0 → wartość $v$ stała.
Promień okręgu: $r = m v / (qB)$ . Większe $B$ → mniejszy promień.
Promienie licz z rysunku: $∣ A D ∣$ to 4 równe odcinki (po $0, 25 m$ ), a $∣ A F ∣$ to 6 takich odcinków – nie 5.
Zwrot $B$ wynika z reguły prawej dłoni dla $F = q v \times B$ (dla dodatniego $q$ ). Proton skręca na całym torze w tę samą stronę, więc zwrot $B$ się nie zmienia.

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 7 - fizyka 2023 PR — Strona arkusza CKE 2023 PR fizyka - zadanie 7. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Rozwiązanie

Zadanie 7.1.

P — w punkcie $A$ siła Lorentza musi działać w prawo (do środka półokręgu $A F$ ), więc $B$ ma zwrot przed płaszczyznę rysunku; proton skręca na całym torze w tę samą stronę, więc zwrot się nie zmienia.
F — $F_{L} = q v B$ ; $v$ stała, ale $B$ różne dla różnych półokręgów.
F — czasy $t_{i} = π r_{i} / v$ różne dla różnych promieni.

Zadanie 7.2.

$F_{L} ⊥ v$ zawsze ⇒ $F_{L} \cdot d s = 0$ ⇒ $W = 0$ ⇒ $Δ E_{k} = 0$ ⇒ $∣ v ∣ = const$ .

Zadanie 7.3.

Z $q v B = m v^{2} / r$ : $B \propto 1/ r$ .

$r_{A F} = \frac{3}{4} m$ , $r_{C D} = \frac{1}{4} m$ :

$B_{C D} = B_{A F} \cdot \frac{r _{A F}}{r _{C D}} = 0, 2 T \cdot \frac{0 , 75}{0 , 25} = 0, 6 T$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „pole magnetyczne, siła Lorentza, ruch po okręgu, proton w polu magnetycznym, indukcja magnetyczna, zachowanie energii, dynamika ruchu krzywoliniowego” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl