MFIP-R0-100-2305 • Otwarte rozszerzone • 7 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 7

Matura z fizyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

Podstawa programowa fizyki PR — dział VII (Magnetyzm): pole magnetyczne, siła Lorentza, ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym po okręgu, promień orbity.

Treść zadania

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $A F$ , $FB$ , $BE$ , $EC$ , $C D$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{A F}$ , $B_{FB}$ , $B_{BE}$ , $B_{EC}$ , $B_{C D}$ .

W chwili początkowej $t_{A} = 0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $v$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$ . Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $B_{A F}$ wynosiła $0, 2 T$ . Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równość: $∣ A B ∣ = ∣ BC ∣ = ∣ CS ∣ = ∣ S D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ EF ∣$ oraz $∣ A D ∣ = 1 m$ .

W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Zadanie 7.1. (0–2)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Nr	Stwierdzenie	P/F
1.	Wektor indukcji pola magnetycznego wzdłuż całego toru ruchu protonu ma zwrot przed płaszczyznę rysunku (tzn. w stronę patrzącego).	P / F
2.	Wartość siły magnetycznej Lorentza działającej na proton jest stała na całej długości toru od punktu $A$ do punktu $D$ .	P / F
3.	Czas ruchu protonu po każdym z półokręgów $A F$ , $FB$ , $BE$ , $EC$ , $C D$ jest taki sam.	P / F

Zadanie 7.2. (0–2)

Wykaż, że wartość prędkości protonu w ruchu po każdym z półokręgów była stała. Powołaj się na:

odpowiednie własności siły działającej na proton oraz
zasady dynamiki albo odpowiednie twierdzenie o energii kinetycznej.

Zadanie 7.3. (0–3)

Oblicz wartość $B_{C D}$ wektora indukcji pola magnetycznego działającego na proton, gdy poruszał się on po półokręgu $C D$ . Zapisz obliczenia. Wskazówka: Wartość prędkości protonu poruszającego się po torze $A FBEC D$ była stała.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Zadanie 7.1.

Aby proton (ładunek dodatni) z prędkością $v$ (w prawo, wzdłuż $A D$ ) skręcił w pierwszym półokręgu $A F$ (na rysunku górą, w lewo), siła Lorentza $F = q v \times B$ musi działać "w górę". Z reguły prawej dłoni: $B$ jest skierowane za płaszczyznę rysunku (od patrzącego), NIE przed nią.

Zwrot przed płaszczyznę — fałsz, jest za płaszczyznę (lub można argumentować: zwroty się zmieniają na różnych półokręgach, bo proton skręca raz w lewo, raz w prawo). F
Siła Lorentza $F = q v B$ . Prędkość $v$ jest stała (siła zawsze prostopadła do $v$ , nie wykonuje pracy), ale $B$ jest różne na różnych półokręgach, więc $F$ jest różna. F
Czas półobiegu: $t = π r / v$ . Promienie półokręgów są różne ( $∣ A B ∣, ∣ A F ∣$ różne), więc czasy też różne. F

Zadanie 7.2.

Siła Lorentza $F_{L} = q v \times B$ jest zawsze prostopadła do prędkości $v$ . Z twierdzenia o energii kinetycznej:

$Δ E_{k} = W = \int F \cdot d s$

Ponieważ $d s ∥ v$ , a $F_{L} ⊥ v$ , mamy $F_{L} \cdot d s = 0$ , czyli siła nie wykonuje pracy. Zatem $Δ E_{k} = 0$ , więc $v = const$ . Wartość prędkości protonu jest stała na każdym półokręgu.

Zadanie 7.3.

$∣ A D ∣ = 1 m$ podzielone na 5 równych odcinków: $∣ A B ∣ = ∣ BC ∣ = ∣ CS ∣ = ∣ S D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ EF ∣ = 0, 2 m$ .

Promienie półokręgów (każdy = połowa średnicy = długość półokręgu między punktami):

$A F$ : średnica $∣ A F ∣$ . Z rysunku $A$ i $F$ są symetryczne — promień $r_{A F} = \frac{∣ A F ∣}{2}$ . Z geometrii: $∣ A F ∣$ ma długość 5 odcinków = 1 m, więc $r_{A F} = 0, 5 m$ .
$C D$ : średnica $∣ C D ∣ = ∣ CS ∣ + ∣ S D ∣ = 0, 4 m$ , więc $r_{C D} = 0, 2 m$ .

Z warunku ruchu po okręgu (siła Lorentza = siła dośrodkowa):

$q v B = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow B = \frac{m v}{q r}$

Stosunek dla półokręgów $A F$ i $C D$ (przy stałych $m, v, q$ ):

$\frac{B _{C D}}{B _{A F}} = \frac{r _{A F}}{r _{C D}}$

$B_{C D} = B_{A F} \cdot \frac{r _{A F}}{r _{C D}} = 0, 2 \cdot \frac{0 , 5}{0 , 2} = 0, 2 \cdot 2, 5 = 0, 5 T$

Odpowiedź: $B_{C D} = 0, 5 T$ .

Typowy błąd / pułapka

Siła Lorentza ZAWSZE prostopadła do prędkości → praca = 0 → $v = const$ .
Promień okręgu: $r = m v / (qB)$ . Większe $B$ → mniejszy promień.
Geometria toru wymaga uważnego policzenia promieni z podziału $∣ A D ∣$ na równe odcinki.
Zwrot $B$ wynika z reguły prawej dłoni dla $F = q v \times B$ (dla dodatniego $q$ ).
Na różnych półokręgach zwrot $B$ może się zmieniać (skręty w przeciwne strony) — sprawdź geometrię toru.

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 7 - fizyka 2023 PR — Strona arkusza CKE 2023 PR fizyka - zadanie 7. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Rozwiązanie

Zadanie 7.1.

F — zwrot $B$ na półokręgu $A F$ za płaszczyznę rysunku (nie przed), a na kolejnych zmienia się.
F — $F_{L} = q v B$ ; $v$ stała, ale $B$ różne dla różnych półokręgów.
F — czasy $t_{i} = π r_{i} / v$ różne dla różnych promieni.

Zadanie 7.2.

$F_{L} ⊥ v$ zawsze ⇒ $F_{L} \cdot d s = 0$ ⇒ $W = 0$ ⇒ $Δ E_{k} = 0$ ⇒ $∣ v ∣ = const$ .

Zadanie 7.3.

Z $q v B = m v^{2} / r$ : $B \propto 1/ r$ .

$B_{C D} = B_{A F} \cdot \frac{r _{A F}}{r _{C D}} = 0, 2 \cdot \frac{0 , 5}{0 , 2} = 0, 5 T$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „pole magnetyczne, siła Lorentza, ruch po okręgu, proton w polu magnetycznym, indukcja magnetyczna, zachowanie energii, dynamika ruchu krzywoliniowego" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl