MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 1

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II. Mechanika — siły, dynamika, II zasada Newtona, ruch ciał w polu grawitacyjnym przy obecności oporów ośrodka. Analiza wykresu $v (t)$ .

Treść zadania

Zadanie 1.

Kropla wody spadała pionowo w powietrzu. Na wykresie przedstawiono zależność wartości prędkości kropli $v$ od czasu $t$ ruchu. Na wykresie zaznaczono punkty A, B, C, D, E, F odpowiadające wybranym chwilom ruchu kropli.

Przyjmij, że siła oporu powietrza działająca na kroplę jest proporcjonalna do kwadratu jej prędkości: $F_{o} = k \cdot ρ_{p} \cdot S \cdot v^{2}$ gdzie $ρ_{p}$ — gęstość powietrza, $S$ — pole przekroju kropli (koło o promieniu $R$ ), $k$ — stała bezwymiarowa. Gęstość wody $ρ_{w}$ . Objętość kropli $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Zadanie 1.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Od chwili $t_{A}$ do chwili $t_{D}$ wartość przyśpieszenia kropli:

A. rosła B. malała C. była stała

Uzasadnij wybór, wybierając poprawne dokończenie zdania spośród 1–3. Wartość siły wypadkowej działającej na kroplę w tym przedziale czasu:

1. rosła, ponieważ rosła siła oporu powietrza.

2. malała, ponieważ wraz ze wzrostem prędkości rosła siła oporu powietrza, przeciwnie skierowana do siły ciężkości.

3. była stała, ponieważ stała była siła ciężkości działająca na kroplę.

Zadanie 1.2. (0–3)

Narysuj na schematach (osobno dla chwili $t_{E}$ i $t_{B}$ ) wektory siły oporu powietrza $F_{o E}$ i $F_{o B}$ działającej na kroplę. Zachowaj proporcję długości wektorów. Wykorzystaj fakt, że $F_{o} \propto v^{2}$ , oraz odczytane z wykresu wartości $v_{E} = v_{g r}$ (prędkość graniczna) i $v_{B}$ .

Zadanie 1.3. (0–4)

Wyprowadź wzór na wartość prędkości granicznej $v_{E}$ spadania kropli wyrażoną przez: $R$ (promień kropli), $ρ_{p}$ (gęstość powietrza), $ρ_{w}$ (gęstość wody), $g$ (przyśpieszenie ziemskie) i $k$ (stała). Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

1.1. Odpowiedź: B – 2.

Od $t_{A}$ do $t_{D}$ prędkość rosła, więc rosła siła oporu $F_{o} \propto v^{2}$ (przeciwnie skierowana do $F_{g}$ ). Siła wypadkowa $F_{w} = F_{g} - F_{o}$ malała → przyśpieszenie malało.

1.2. Z wykresu: $v_{E} = v_{g r}$ (prędkość graniczna, od ok. $t_{D}$ ruch jest jednostajny), $v_{B} \approx \frac{1}{3} v_{E}$ (przykładowo, zależnie od odczytu).

Stosunek długości wektorów: $\frac{F _{o E}}{F _{o B}} = (\frac{v _{E}}{v _{B}})^{2} \approx 9$ .

W chwili $t_{E}$ : kropla porusza się z prędkością graniczną, więc $F_{o E}$ jest skierowana pionowo w górę i równa co do wartości sile ciężkości $F_{g}$ . W chwili $t_{B}$ : $F_{o B}$ też w górę, ale ok. 9× krótsza.

1.3. Warunek prędkości granicznej: $F_{w} = 0 \Rightarrow F_{g} = F_{o}$ .

$m \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot S \cdot v_{E}^{2}$

$ρ_{w} \cdot V \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{E}^{2}$

$ρ_{w} \cdot \frac{4}{3} π R^{3} \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{E}^{2}$

$v_{E}^{2} = \frac{4 R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}}$

$v_{E} = \frac{4 R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}} = 2 \frac{R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}}$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 1.1 — wybór "C – 3" ("stała siła ciężkości"). NIE: pytanie dotyczy siły wypadkowej, nie samej $F_{g}$ . $F_{w} = F_{g} - F_{o}$ , a $F_{o}$ rośnie, więc $F_{w}$ maleje.

Pułapka 1.2 — narysowanie $F_{o E}$ i $F_{o B}$ o tej samej długości. NIE: $F_{o} \propto v^{2}$ , więc stosunek długości = stosunek kwadratów prędkości (∼9 ×).

Pułapka 1.3 — pominięcie pola przekroju $S = π R^{2}$ (koło, nie kula). Druga: zapomnienie że masa kropli $m = ρ_{w} V$ , NIE $ρ_{p} V$ (gęstość WODY, nie powietrza).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 1 - kropla wody spadająca z oporem powietrza — Strona 4-6 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 1 (wykres v(t), siły oporu, prędkość graniczna). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 4

Klucz fizyczny — spadanie z oporem powietrza

Faza początkowa ( $t < t_{D}$ ): $v$ mała → $F_{o} = k ρ_{p} S v^{2}$ mała → $F_{w} = F_{g} - F_{o} > 0$ → ruch przyśpieszony.

Faza graniczna ( $t \geq t_{D}$ ): $v = v_{g r}$ = const → $F_{o} = F_{g}$ → $F_{w} = 0$ → ruch jednostajny.

Warunek prędkości granicznej: $ρ_{w} \cdot \frac{4}{3} π R^{3} \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{g r}^{2}$ .

Po co to umieć

Każde ciało spadające w atmosferze (skoczek spadochronowy, kropla deszczu, grad) osiąga prędkość graniczną. Dla człowieka w pozycji “orła” $v_{g r} \approx 200$ km/h, w pozycji “strzałki” — ok. 300 km/h. Kropla deszczu (R ≈ 1 mm) osiąga $v_{g r} \approx 9$ m/s — dlatego deszcz nie zabija, mimo że spada z chmury wysokiej na 1 km.

Podobne zadania

kinematyka, rzuty, ruch jednostajnie zmienny

Zadanie 1 (5 pkt)

maj 2025 • PR

W komorze próżniowej z kulki pionowo do góry wyrzucono kulkę K z prędkością początkową $v_0$. Kulka K po pewnym czasie wróciła w to samo miejsce. Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego $g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$. **Zadanie 1.1. (0–2)** Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. **Zadanie 1.2. (0–3)** W chwili początkowej kulka K znajdowała się w punkcie A o współrzędnych $(0; 12)$ m i poruszała się z prędkością początkową $v_{0A} = 8 \text{ m/s}$ skierowaną pionowo do góry. Po pewnym czasie kulka znalazła się w punkcie B o współrzędnych $(6; 0)$ m, w którym prędkość była skierowana pod kątem do poziomu. Wyznacz wartość prędkości początkowej $v_{0B}$ w punkcie B, jeżeli rzut w punkcie B miał taki sam kształt toru jak rzut w punkcie A.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dynamika, opory ruchu, prędkość graniczna, II zasada Newtona, ruch jednostajny" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl