MFAP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 1

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

I.7) wyodrębnia z […] wykresów […] informacje kluczowe dla opisywanego zjawiska […]; II.5) […] interpretuje wykresy zależności parametrów ruchu od czasu; II.13) stosuje zasady dynamiki do opisu zachowania się ciał (1.1–1.3); I.6) tworzy […] rysunki schematyczne lub blokowe dla zilustrowania zjawisk […]; II.12) wyznacza graficznie siłę wypadkową […] (1.2); II.17) opisuje opory ruchu […] (1.2, 1.3). Wymagania egzaminacyjne 2024.

Treść zadania

Zadanie 1.

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili $t_{A} = 0$ s i opadała pionowo w powietrzu, aż w chwili $t_{F} = 4$ s uderzyła o podłoże. Na wykresie $v (t)$ prędkość rośnie od zera coraz wolniej (punkt $B$ : $t_{B} = 0, 4$ s, $v_{B} = 3, 5$ m/s), a od chwili $t_{D}$ jest stała i równa 7 m/s (odcinek $D F$ , punkt $E$ : $t_{E} = 3, 6$ s). Układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako inercjalny.

Przyjmij model, w którym na kroplę działają tylko siła oporu powietrza $F_{o}$ i siła grawitacji $F_{g}$ (wypór pomijamy), kropla jest kulą o promieniu $R$ i stałej masie, a wartość siły oporu wyraża się wzorem: $F_{o} = k ρ_{p} S v^{2}$ gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, $ρ_{p}$ – gęstość powietrza, $S$ – pole przekroju poprzecznego przez środek kropli. Gęstość wody oznaczamy $ρ_{w}$ , objętość kuli $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Zadanie 1.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Od chwili $t_{A}$ do chwili $t_{D}$ wartość przyśpieszenia kropli

A. się zwiększa, B. się zmniejsza, C. pozostaje stała,

ponieważ wartość siły wypadkowej działającej w tym czasie na kroplę

1. się zwiększa. 2. się zmniejsza. 3. pozostaje stała.

Zadanie 1.2. (0–3)

Na dwóch diagramach narysowano siłę grawitacji działającą na kroplę (długość boku kratki to umowna jednostka siły). Narysuj na diagramie 1. siłę oporu $F_{o E}$ w chwili $t_{E} = 3, 6$ s, a na diagramie 2. siłę oporu $F_{o B}$ w chwili $t_{B} = 0, 4$ s. Zachowaj kierunki, zwroty i dokładne długości wektorów. Wykorzystaj fakt, że $F_{o} \propto v^{2}$ .

Zadanie 1.3. (0–4)

Wyprowadź wzór na wartość prędkości granicznej $v_{E}$ spadania kropli wyrażoną przez: $R$ (promień kropli), $ρ_{p}$ (gęstość powietrza), $ρ_{w}$ (gęstość wody), $g$ (przyśpieszenie ziemskie) i $k$ (stała). Zapisz obliczenia.

Wykres zależności wartości prędkości v kropli wody od czasu t od 0 do 4 s z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F; od punktu D prędkość jest stała i równa 7 m/s. — Materiał 1 z 2 Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 4

Diagram 1. (t_E = 3,6 s) i diagram 2. (t_B = 0,4 s) w kratkę z punktem K i narysowaną siłą grawitacji F_g działającą na kroplę. — Diagramy do zadania 1.2 Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 5

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

1.1. Odpowiedź: B – 2.

Od $t_{A}$ do $t_{D}$ prędkość rosła, więc rosła siła oporu $F_{o} \propto v^{2}$ (przeciwnie skierowana do $F_{g}$ ). Siła wypadkowa $F_{w} = F_{g} - F_{o}$ malała → przyśpieszenie malało.

1.2. Z wykresu: $v_{E} = 7$ m/s (ruch jednostajny), $v_{B} = 3, 5$ m/s, czyli $v_{B} = \frac{1}{2} v_{E}$ .

W chwili $t_{E}$ kropla porusza się ruchem jednostajnym, więc $F_{o E}$ jest skierowana pionowo w górę i ma wartość równą sile grawitacji – według zasad oceniania CKE 8 jednostek. Stosunek wartości:
$\frac{F _{o B}}{F _{o E}} = (\frac{v _{B}}{v _{E}})^{2} = \frac{1}{4},$
więc $F_{o B}$ też jest skierowana w górę i ma długość 2 jednostek.

1.3. Warunek prędkości granicznej: $F_{w} = 0 \Rightarrow F_{g} = F_{o}$ .

$m \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot S \cdot v_{E}^{2}$

$ρ_{w} \cdot V \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{E}^{2}$

$ρ_{w} \cdot \frac{4}{3} π R^{3} \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{E}^{2}$

$v_{E}^{2} = \frac{4 R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}}$

$v_{E} = \frac{4 R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}} = 2 \frac{R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}}$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 1.1 — wybór „C – 3” z myślą, że skoro siła ciężkości jest stała, to stała jest też siła wypadkowa. NIE: liczy się siła wypadkowa, nie sama $F_{g}$ . $F_{w} = F_{g} - F_{o}$ , a $F_{o}$ rośnie, więc $F_{w}$ maleje.

Pułapka 1.2 — przyjęcie, że siła oporu rośnie proporcjonalnie do prędkości (wtedy $F_{o B}$ miałaby 4 jednostki). $F_{o} \propto v^{2}$ , więc przy dwukrotnie mniejszej prędkości siła oporu jest czterokrotnie mniejsza: 2 jednostki.

Pułapka 1.3 — pominięcie pola przekroju $S = π R^{2}$ (koło, nie kula). Druga: zapomnienie że masa kropli $m = ρ_{w} V$ , NIE $ρ_{p} V$ (gęstość WODY, nie powietrza).

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 1 - kropla wody spadająca z oporem powietrza — Strona 4-6 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 1 (wykres v(t), siły oporu, prędkość graniczna). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 4

Klucz fizyczny — spadanie z oporem powietrza

Faza początkowa ( $t < t_{D}$ ): $v$ mała → $F_{o} = k ρ_{p} S v^{2}$ mała → $F_{w} = F_{g} - F_{o} > 0$ → ruch przyśpieszony.

Faza graniczna ( $t \geq t_{D}$ ): $v = v_{g r}$ = const → $F_{o} = F_{g}$ → $F_{w} = 0$ → ruch jednostajny.

Warunek prędkości granicznej: $ρ_{w} \cdot \frac{4}{3} π R^{3} \cdot g = k \cdot ρ_{p} \cdot π R^{2} \cdot v_{g r}^{2}$ .

Po co to umieć

Ciało spadające w powietrzu z dostatecznie dużej wysokości (kropla deszczu, grad, skoczek spadochronowy) przestaje przyśpieszać, gdy siła oporu zrówna się z siłą grawitacji – dalej opada ze stałą prędkością graniczną. Z otrzymanego wzoru $v_{E} = \frac{4 R ρ _{w} g}{3 k ρ _{p}}$ widać, że w tym modelu większa kropla (większe $R$ ) ma większą prędkość graniczną.

Podobne zadania

kinematyka, rzuty, ruch jednostajnie zmienny

Zadanie 1 (5 pkt)

maj 2025 • PR

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej. Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym: - ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu - ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym - poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne - podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome - przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$. **Zadanie 1.1. (0–2)** W chwili $t_0$ rzucono kulkę K z pewnej wysokości. Prędkość $\vec{v}_0$ kulki w chwili $t_0$ miała kierunek poziomy. Analizujemy ruch kulki K od chwili $t_0$ do chwili $t_k$ – momentu uderzenia kulki K o podłoże. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Wartość prędkości kulki K rośnie wprost proporcjonalnie do czasu, mierzonego od chwili $t_0$. 2. Wektor przyśpieszenia kulki K podczas jej ruchu ma stałą wartość. 3. Czas ruchu kulki K od chwili $t_0$ do chwili $t_k$ zależy od $v_0$ – wartości prędkości początkowej kulki. **Zadanie 1.2. (0–3)** Z punktu $A$ w chwili $t_0 = 0$ s rzucono kulkę KA. Prędkość kulki KA w chwili $t_0$ miała kierunek poziomy i wartość równą $v_{0A} = 8 \text{ m/s}$. Z punktu $B$ – w tej samej chwili $t_0$ – rzucono kulkę KB. Prędkość kulki KB w chwili $t_0$ miała kierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczymy jako $v_{0B}$. Rzucone kulki KA i KB zderzyły się w chwili $t_z$ w punkcie $C$. Współrzędne punktów $A$, $B$ i $C$ wyrażone w metrach, w kartezjańskim układzie współrzędnych, są następujące: $A = (0; 12)$, $B = (6; 0)$, $C = (6; y_C)$. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne. Oblicz $v_{0B}$ – wartość prędkości początkowej kulki KB w punkcie $B$. Zapisz obliczenia.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dynamika, opory ruchu, prędkość graniczna, II zasada Newtona” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl