MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 6 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 2

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II.5 — dynamika bryły sztywnej. Toczenie bez poślizgu. Moment bezwładności walca. Sprzężenie ruchu obrotowego i postępowego.

Treść zadania

Zadanie 2.

Jednorodny walec o masie $m = 10 kg$ i promieniu $R$ był ciągnięty siłą o wartości $F = 30 N$ po płaskiej poziomej powierzchni. Siła $F$ była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.).

Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

walec toczył się bez poślizgu,
w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego $T$ oraz siła $F$ ,
siła tarcia $T$ między walcem a powierzchnią nie osiągała wartości maksymalnej,
pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu,
moment bezwładności walca względem jego osi obrotu — będącej osią symetrii walca — wyraża się wzorem $I_{0} = \frac{1}{2} m R^{2}$ ,
ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym,
pomijamy masę osi obrotu walca i masę jego uchwytu.

Zadanie 2.1. (0–3)

Całkowitą energię kinetyczną walca w pewnej chwili $t$ ruchu oznaczmy jako $E_{kin c a l k}$ , a energię kinetyczną ruchu postępowego walca w tej samej chwili $t$ oznaczmy $E_{kin p os t}$ .

Oblicz iloraz $\frac{E _{kin p os t}}{E _{kin c a l k}}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Zadanie 2.2. (0–3)

Oblicz wartość przyśpieszenia (liniowego) środka masy walca. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

2.1. Energia kinetyczna toczącego się bez poślizgu walca:

$E_{kin c a l k} = E_{kin p os t} \frac{1}{2} m v^{2} + E_{kin o b r} \frac{1}{2} I_{0} ω^{2}$

Z warunku toczenia bez poślizgu: $v = ω R \Rightarrow ω = v / R$ .

$E_{kin o b r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{v ^{2}}{R ^{2}} = \frac{1}{4} m v^{2}$

$E_{kin c a l k} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4} m v^{2} = \frac{3}{4} m v^{2}$

$\frac{E _{kin p os t}}{E _{kin c a l k}} = \frac{\frac{1}{2} m v ^{2}}{\frac{3}{4} m v ^{2}} = \frac{2}{3}$

2.2. Układamy równania:

II zasada Newtona (ruch postępowy): $F - T = ma$
II zasada Newtona dla obrotu (oś walca): $T \cdot R = I_{0} \cdot ε = \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{a}{R}$ → $T = \frac{1}{2} ma$

Podstawiamy:

$F - \frac{1}{2} ma = ma$
$F = \frac{3}{2} ma$
$a = \frac{2 F}{3 m} = \frac{2 \cdot 30}{3 \cdot 10} = 2 m/ s^{2}$

$a = 2 m/ s^{2}$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 2.1 — pominięcie energii obrotowej. Walec toczy się — ma DWIE składowe energii kinetycznej. $E_{kin p os t} = \frac{1}{2} m v^{2}$ to nie całość.

Pułapka 2.2 — założenie że $a = F / m = 3$ m/s² (bez tarcia). Siła tarcia statycznego, mimo że nie wykonuje pracy (punkt styku chwilowo spoczywa), zmniejsza wypadkową siłę napędową — bo to ona wytwarza moment obrotowy.

Pułapka — kierunek siły tarcia. Tarcie statyczne tu działa przeciwnie do $F$ (tj. wstecz), bo to ono zapewnia moment obrotowy potrzebny do toczenia bez poślizgu (gdyby tarcia nie było, walec by się ślizgał, a uchwyt by go ciągnął bez obrotu).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 2 - walec toczący się bez poślizgu — Strona 7-9 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 2 (walec ciągnięty za uchwyt, toczenie bez poślizgu). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 7

Klucz — toczenie bez poślizgu

Warunek toczenia bez poślizgu: $v = ω R$ , $a = εR$ . To NIE jest siła ani prawo dynamiki — to warunek geometryczny (więz).

Energia walca toczącego się: $E_{kin} = E_{p os t} + E_{o b r} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I_{0} ω^{2}$ . Dla walca pełnego: $E_{kin} = \frac{3}{4} m v^{2}$ . Dla kuli pełnej: $E_{kin} = \frac{7}{10} m v^{2}$ . Dla obręczy: $E_{kin} = m v^{2}$ .

Dynamika ruchu obrotowego: $\sum τ = I ε$ . Tylko tarcie ma niezerowy moment względem osi walca (siła $F$ działa przez oś — moment = 0).

Po co to umieć

Toczenie bez poślizgu = klasyczna sprzęgająca dynamika. Dotyczy: koła samochodu, taczki, butelki staczającej się ze stołu, kuli bilardowej z efektem “topspin”. Klucz: punkt styku z podłożem chwilowo SPOCZYWA — tarcie statyczne (nie kinetyczne), praca = 0, więc energia mechaniczna zachowana w czystym toczeniu.

Podobne zadania

dynamika, zderzenie sprężyste, zasada zachowania pędu, zasada zachowania energii kinetycznej, krążki jednorodne, siły wzajemnego oddziaływania

Zadanie 2 (2 pkt)

maj 2023 • PR

Krążek K1 porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ ze stałą prędkością $\vec{v}$, a krążek K2 spoczywa. Środek krążka K2 leży na prostej wyznaczającej kierunek ruchu krążka K1. W pewnej chwili krążek K1 uderza w krążek K2. Na rysunku 1. w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono poruszające się krążek K1 i spoczywający krążek K2. Oznaczono prędkość $\vec{v}$ krążka K1 i składowe $\vec{v}_x, \vec{v}_y$ tej prędkości. Na rysunku 2. przedstawiono moment zderzenia się obu krążków. Krążki są jednorodne, a ich masy są sobie równe. Pomijamy tarcie między krążkami K1 i K2 oraz między krążkami a podłożem. ### Zadanie 2.1. (0–1) Na rysunku 2. poprawnie narysuj parę sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy krążkami podczas ich zderzenia. Każda z sił przyłożona — odpowiednio — w punkcie środka masy krążka K1 lub krążka K2. Zachowaj odpowiednie kierunki i zwroty tych sił oraz relację (większy, równy, mniejszy) między ich wartościami. ### Zadanie 2.2. (0–1) Załóżmy, że zderzenie krążków K1 i K2 było **doskonale sprężyste**. Na którym rysunku (spośród A–D) prawidłowo narysowano i opisano wektory prędkości krążków bezpośrednio po zderzeniu w układzie odniesienia $\mathcal{U}$? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. **A.** $|\vec{v}_1'| = |\vec{v}_2'| = \frac{|\vec{v}|}{2}$ (krążki rozjeżdżają się symetrycznie) **B.** $\vec{v}_1' = 0\ \ \text{i}\ \ \vec{v}_2' = \vec{v}$ (K1 zatrzymuje się, K2 odjeżdża z prędkością K1) **C.** $\vec{v}_1' = \vec{v}_y,\ \vec{v}_2' = \vec{v}_x$ (K1 odbija się prostopadle, K2 odjeżdża wzdłuż $x$) **D.** $\vec{v}_1' = \frac{\vec{v}_y}{2},\ \vec{v}_2' = \frac{\vec{v}_x}{2}$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności, ruch obrotowo-postępowy, energia kinetyczna" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl