MFAP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 3

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

I.7) wyodrębnia z […] wykresów, rysunków schematycznych […] informacje kluczowe dla opisywanego zjawiska […] (3.1–3.3); V.2) analizuje ruch pod wpływem siły sprężystości; posługuje się pojęciem ruchu harmonicznego […] (3.1–3.3); V.4) analizuje zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla ciała w ruchu drgającym harmonicznym oraz interpretuje wykresy tych zależności; V.6) oblicza energię potencjalną sprężystości i uwzględnia ją w analizie przemian energii (3.1); I.6) tworzy […] rysunki schematyczne […] (3.2); II.13) stosuje zasady dynamiki do opisu zachowania się ciał (3.2, 3.3); V.1) opisuje proporcjonalność siły sprężystości do wydłużenia […]; V.5) stosuje do obliczeń zależność okresu małych drgań […] ciężarka na sprężynie od ich parametrów (3.3). Wymagania egzaminacyjne 2024.

Treść zadania

Zadanie 3.

Ciężarek o masie $m = 100, 0 g$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Ciężarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Na wykresie w arkuszu przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_{y}$ ciężarka od czasu $t$ : jest to sinusoida o okresie $T = 0, 4$ s i amplitudzie prędkości $0, 6$ m/s, przy czym $v_{y} (0) = 0$ , $v_{y} (0, 1 s) = 0, 6$ m/s, $v_{y} (0, 2 s) = 0$ , $v_{y} (0, 3 s) = - 0, 6$ m/s.

Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

na ciężarek działają tylko siła sprężystości $F_{s}$ sprężyny i siła grawitacji $F_{g}$ ,
wartość siły sprężystości jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną,
układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako inercjalny,
pomijamy opory ruchu i masę sprężyny,
przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g = 9, 81 m/ s^{2}$ .

Zadanie 3.1. (0–2)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

		P / F
1.	W chwili $t = 0, 2$ s siły działające na ciężarek się równoważą.	P / F
2.	Energia kinetyczna ciężarka w chwili $t = 0, 1$ s jest równa energii kinetycznej ciężarka w chwili $t = 0, 3$ s.	P / F
3.	Wartość przyśpieszenia ciężarka w chwili $t = 0, 4$ s jest większa od wartości przyśpieszenia ciężarka w chwili $t = 0, 5$ s.	P / F

Zadanie 3.2. (0–2)

Siły działające na ciężarek się równoważą, gdy ciężarek znajduje się w punkcie o współrzędnej $y = 0$ , natomiast najwyższe i najniższe położenia ciężarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: $y = A$ oraz $y = - A$ . W pewnej chwili ciężarek znalazł się w punkcie $P$ leżącym między $y = 0$ a $y = - A$ (poniżej położenia równowagi).

Na rysunku narysuj i podpisz siłę sprężystości $F_{s}$ i siłę grawitacji $F_{g}$ działające na ciężarek w punkcie $P$ . Zachowaj relację (większy, równy, mniejszy) między wartościami tych sił i zapisz tę relację – wpisz w wykropkowane miejsce poniżej odpowiedni znak wybrany spośród: $>, =, <$ .

$F_{s} \dots\dots\dots F_{g}$

Zadanie 3.3. (0–4)

Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

Wykres zależności współrzędnej prędkości v_y ciężarka na sprężynie od czasu t – sinusoida o amplitudzie 0,6 m/s i okresie 0,4 s. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 10

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

3.1. F, P, P.

W chwili $t = 0, 2$ s prędkość jest równa zeru, więc ciężarek jest w skrajnym położeniu – siła wypadkowa jest wtedy największa, siły się nie równoważą → F.
W chwilach $t = 0, 1$ s i $t = 0, 3$ s wartość prędkości jest taka sama (0,6 m/s), więc energie kinetyczne są równe → P.
W chwili $t = 0, 4$ s prędkość jest zerowa (skrajne położenie, przyśpieszenie największe), a w chwili $t = 0, 5$ s prędkość jest największa (położenie równowagi, przyśpieszenie równe zeru) → P.

3.2. Punkt $P$ leży poniżej położenia równowagi, więc sprężyna jest rozciągnięta bardziej niż w położeniu równowagi, gdzie $F_{s} = F_{g}$ . W punkcie $P$ : $F_{s}$ skierowana w górę, $F_{g}$ w dół, a strzałka $F_{s}$ jest dłuższa:

$F_{s} > F_{g}$

3.3. Z wykresu: $T = 0, 4$ s, $v_{ma x} = 0, 6$ m/s. W ruchu harmonicznym $a_{ma x} = ω v_{ma x} = \frac{2 π}{T} v_{ma x}$ :
$a_{ma x} = \frac{2 π}{0 , 4 s} \cdot 0, 6 \frac{m}{s} \approx 9, 42 m/ s^{2} .$
W najniższym położeniu przyśpieszenie jest skierowane w górę, więc z II zasady dynamiki:
$F_{s} - F_{g} = m a_{ma x} \Rightarrow F_{s} = m (g + a_{ma x}) = 0, 1 \cdot (9, 81 + 9, 42) \approx 1, 92 N$

$F_{s} \approx 1, 92 N$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 3.1 — pomylenie chwil, w których $v_{y} = 0$ , z chwilami, w których ciężarek mija położenie równowagi. W położeniu równowagi wartość prędkości jest największa, a w skrajnych położeniach $v = 0$ .

Pułapka 3.2 — przyjęcie, że poniżej położenia równowagi siła sprężystości maleje. Jest odwrotnie: niżej sprężyna jest bardziej rozciągnięta, więc $F_{s} > F_{g}$ (wypadkowa kieruje ciężarek z powrotem w górę).

Pułapka 3.3 — pominięcie siły grawitacji: w najniższym położeniu $F_{s}$ to nie $m a_{ma x}$ , tylko $m (g + a_{ma x})$ , bo wypadkowa $F_{s} - F_{g} = m a_{ma x}$ .

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 3 - ciężarek na sprężynie, ruch harmoniczny — Strona 10-12 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 3 (drgania ciężarka na sprężynie, wykres v(t)). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 10

Klucz — ruch harmoniczny

Faza ruchu: $y (t) = A sin (ω t + φ_{0})$ , $v (t) = A ω cos (ω t + φ_{0})$ , $a (t) = - A ω^{2} sin (ω t + φ_{0}) = - ω^{2} y$ .

W skrajnych położeniach ( $y = \pm A$ ): $v = 0$ , $∣ a ∣ = A ω^{2} = a_{ma x}$ . W równowadze ( $y = 0$ ): $∣ v ∣ = A ω = v_{ma x}$ , $a = 0$ .

Sprężyna pionowa: w równowadze sprężyna już jest rozciągnięta o $Δ x_{0} = m g / k$ . Drgania zachodzą wokół tego punktu. Siła sprężystości w skrajnym dolnym: $F_{s} = k (Δ x_{0} + A)$ .

Po co to umieć

Ruch harmoniczny to model małych drgań wielu układów – np. wahadła albo ciężarka na sprężynie – w których siła wypadkowa jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i skierowana do tego położenia.

Podobne zadania

dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności walca, ruch obrotowy, zasada zachowania energii, II zasada dynamiki dla obrotu, walec na stole

Zadanie 3 (6 pkt)

maj 2023 • PR

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec — ciągnięty przez linkę — rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustrują rysunki 1. i 2. Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym: - moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I = \tfrac{1}{2} m R^2$ - pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca - zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym - siła tarcia statycznego $T$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej - pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu. ### Zadanie 3.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. | Nr | Stwierdzenie | P/F | |---|---|---| | 1. | Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości $2\pi R$. | P / F | | 2. | Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osi. | P / F | | 3. | Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walca. | P / F | ### Zadanie 3.2. (0–4) Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość $a$ przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości $g$ przyśpieszenia ziemskiego. Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj (w ramce na dole strony) postać tego wzoru. Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej układu lub skorzystaj z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca, dla ruchu obrotowego walca i dla ruchu postępowego ciężarka.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ruch harmoniczny, drgania, energia mechaniczna, siła sprężystości” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl