MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 3

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II.6 — ruch drgający (harmoniczny), energia w ruchu drgającym, siła sprężystości. Analiza wykresów $v (t)$ , $a (t)$ , $y (t)$ .

Treść zadania

Zadanie 3.

Ciążarek o masie $m = 100, 0 g$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Przyjmujemy, że ciążarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Po pionowym wychyleniu ciążarka z położenia równowagi i puszczeniu go w chwili $t_{0} = 0$ ciążarek wykonuje ruch harmoniczny. Na wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_{y}$ ciążarka od czasu $t$ . Maksymalne przyspieszenie ciążarka ma wartość $a_{ma x} = 9, 81 m/ s^{2}$ .

Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

na ciążarek działają tylko siła sprężystości $F_{s}$ sprężyny i siła ciężkości $F_{g}$ ,
wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciążarek, jest wprost proporcjonalna do wychylenia sprężyny (rozciąg lub ściśnięcia) względem jej długości swobodnej (gdy nie obciążono jej masą),
układ odniesienia związany z ziemią jest inercjalny,
pomijamy przyśpieszenie ziemskie ma wartość ok. $9, 81 m/ s^{2}$ .

Zadanie 3.1. (0–2)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

		P / F
1.	W chwili $t = 0, 2$ s siły działające na ciążarek się równoważą.	P / F
2.	Energia kinetyczna ciążarka w chwili $t = 0, 4$ s ma równą energii kinetycznej ciążarka w chwili $t = 0$ .	P / F
3.	Wartość przyśpieszenia ciążarka w chwili $t = 0, 4$ s jest mniejsza niż w chwili $t = 0$ .	P / F

Zadanie 3.2. (0–2)

Siły działające na ciążarek się równoważą, gdy ciążarek znajduje się w punkcie o współrzędnej $y = 0$ , natomiast najwyższe i najniższe położenia ciążarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: $y = A$ oraz $y = - A$ . W pewnej chwili ruchu drgającego ciążarek znalazł się w punkcie $P$ (zobacz schematyczny rysunek w arkuszu).

Na rysunku narysuj i podpisz siłę sprężystości $F_{s}$ i siłę grawitacji $F_{g}$ działające na ciążarek w punkcie $P$ . Zachowaj relację (większy, równy, mniejszy) między wartościami tych sił i zapisz tę relację – wpisz w wykropkowane miejsce poniżej odpowiedni znak wybrany spośród: $>, =, <$ .

$F_{s} \dots\dots\dots F_{g}$

Zadanie 3.3. (0–4)

Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciążarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

3.1.

W $t = 0, 2$ s — z wykresu $v_{y} = 0$ (ekstremum prędkości lub zero?). Jeśli $v_{y}$ osiąga maksimum, to ciążarek jest w $y = 0$ (równowaga) → siły się równoważą → P. Jeśli $v_{y} = 0$ , to ciążarek jest w skrajnym położeniu → siły się NIE równoważą → F. (Z wykresu $v_{y} (t)$ w tym arkuszu okres $T = 0, 8$ s, $v_{y}$ ma zera w $t = 0$ , $0, 4$ , $0, 8$ s. W $t = 0, 2$ s mamy ekstremum $v_{y} \to$ ciążarek w równowadze.) P.
Energie kinetyczne w $t = 0$ i $t = 0, 4$ s — oba są w skrajnych położeniach, $v = 0$ → $E_{k} = 0$ w obu. → P.
Wartość przyśpieszenia w $t = 0, 4$ s vs $t = 0$ . Oba to skrajne wychylenia (po $\pm A$ ). $∣ a ∣ = ω^{2} ∣ y ∣$ , $∣ y ∣ = A$ w obu → $∣ a ∣$ TAKA SAMA → twierdzenie "mniejsza" jest F.

3.2. Punkt $P$ leży poniżej $y = 0$ (w obszarze $y < 0$ , blisko $- A$ ). Sprężyna jest mniej rozciągnięta niż w punkcie równowagi → $F_{s}$ skierowana w górę, ale mniejsza niż w $y = 0$ .

W $P$ : $F_{s}$ skierowana w górę (sprężyna ciągnie ciążarek do góry), $F_{g}$ skierowana w dół.

Skoro ciążarek znajduje się poniżej $y = 0$ (poniżej punktu równowagi), to siła sprężystości jest mniejsza niż w punkcie równowagi, gdzie była równa $F_{g}$ . Stąd:

$F_{s} < F_{g}$

Strzałka $F_{s}$ (w górę) krótsza od strzałki $F_{g}$ (w dół).

3.3. W najniższym położeniu $y = - A$ :

przyśpieszenie maksymalne $a_{ma x} = 9, 81 m/ s^{2}$ , skierowane w górę (do położenia równowagi).
$F_{s}$ (w górę) – $F_{g}$ (w dół) = $m \cdot a_{ma x}$ (II zasada N., dodatni kierunek = w górę)
$F_{s} = m (g + a_{ma x}) = 0, 1 \cdot (9, 81 + 9, 81) = 0, 1 \cdot 19, 62 \approx 1, 96 N$

$F_{s} \approx 1, 96 N$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 3.1 — pomylenie "ekstremum $v_{y}$ " z " $v_{y} = 0$ ". W punkcie równowagi $∣ v ∣$ jest MAKSYMALNE, w skrajnych $v = 0$ . Sprawdź uważnie wykres.

Pułapka 3.2 — narysowanie $F_{s}$ skierowanej w dół. Sprężyna ZAWSZE ciągnie ciążarek W STRONĘ pozycji niezdeformowanej. Sprężyna jest rozciągnięta (ciążarek w dole) → ciągnie w górę.

Pułapka 3.3 — pominięcie ciężaru. $F_{s}$ w skrajnym dolnym punkcie to NIE $m \cdot a_{ma x}$ . Musisz uwzględnić, że $F_{g}$ działa stale w dół, a wypadkowa $F_{s} - F_{g} = m \cdot a$ . Stąd $F_{s} = m (g + a_{ma x})$ .

Pułapka — założenie że $a_{ma x} = g$ to przypadek. Dla tej sprężyny $a_{ma x} = ω^{2} A$ . Tutaj akurat dało dokładnie $g$ , ale to wybór danych — nie reguła fizyczna.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 3 - ciążarek na sprężynie, ruch harmoniczny — Strona 10-12 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 3 (drgania ciążarka na sprężynie, wykres v(t)). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 10

Klucz — ruch harmoniczny

Faza ruchu: $y (t) = A sin (ω t + φ_{0})$ , $v (t) = A ω cos (ω t + φ_{0})$ , $a (t) = - A ω^{2} sin (ω t + φ_{0}) = - ω^{2} y$ .

W skrajnych położeniach ( $y = \pm A$ ): $v = 0$ , $∣ a ∣ = A ω^{2} = a_{ma x}$ . W równowadze ( $y = 0$ ): $∣ v ∣ = A ω = v_{ma x}$ , $a = 0$ .

Sprężyna pionowa: w równowadze sprężyna już jest rozciągnięta o $Δ x_{0} = m g / k$ . Drgania zachodzą wokół tego punktu. Siła sprężystości w skrajnym dolnym: $F_{s} = k (Δ x_{0} + A)$ .

Po co to umieć

Ruch harmoniczny = uniwersalny model dla małych drgań: wahadło, struna gitarowa, kwarc w zegarku, elektrony w paśmie walencyjnym kryształu (drgania atomowe → fonony → ciepło właściwe). W inżynierii: budynek pod wpływem trzęsienia ziemi, drgania mostu, tłumiki samochodowe.

Podobne zadania

dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności walca, ruch obrotowy, zasada zachowania energii, II zasada dynamiki dla obrotu, walec na stole

Zadanie 3 (6 pkt)

maj 2023 • PR

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec — ciągnięty przez linkę — rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustruje rysunek 1. i 2. Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym: - moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I = \tfrac{1}{2} m R^2$ - pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca - zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym - siła tarcia statycznego $T$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej - pomijamy tarcie (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu. ### Zadanie 3.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. | Nr | Stwierdzenie | P/F | |---|---|---| | 1. | Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości $2\pi R$. | P / F | | 2. | Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osi. | P / F | | 3. | Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walca. | P / F | ### Zadanie 3.2. (0–4) Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość $a$ przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości $g$ przyśpieszenia ziemskiego. Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj (w ramce na dole strony) postać tego wzoru. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej układu lub z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca, dla ruchu obrotowego walca i dla ruchu postępowego ciężarka.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ruch harmoniczny, drgania, energia mechaniczna, siła sprężystości" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl