MFIP-R0-100-2305 • Otwarte rozszerzone • 6 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 3

Matura z fizyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

Podstawa programowa fizyki PR — dział III (Dynamika bryły sztywnej): moment bezwładności, II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, toczenie bez poślizgu, zasada zachowania energii dla układu translacja+rotacja.

Treść zadania

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec — ciągnięty przez linkę — rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustruje rysunek 1. i 2.

Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I = \frac{1}{2} m R^{2}$
pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
siła tarcia statycznego $T$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
pomijamy tarcie (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

Zadanie 3.1. (0–2)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Nr	Stwierdzenie	P/F
1.	Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości $2 π R$ .	P / F
2.	Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osi.	P / F
3.	Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walca.	P / F

Zadanie 3.2. (0–4)

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość $a$ przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości $g$ przyśpieszenia ziemskiego. Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj (w ramce na dole strony) postać tego wzoru. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej układu lub z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca, dla ruchu obrotowego walca i dla ruchu postępowego ciężarka.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Zadanie 3.1.

Nr	Stwierdzenie	P/F
1.	Walec toczy się bez poślizgu — w czasie jednego obrotu przebywa $2 π R$	P
2.	Dla jednorodnego walca: $E_{k, post} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , $E_{k, obr} = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot (v / R)^{2} = \frac{1}{4} m v^{2}$ , więc $E_{k, post} > E_{k, obr}$	P
3.	Energia potencjalna ciężarka zamienia się także w energię kinetyczną ciężarka i wykonuje pracę przeciw tarciu statycznemu (które nie wykonuje pracy, bo punkt styku nie ślizga), ale ciężarek SAM też ma energię kinetyczną — więc NIE w całości na walec	F

Zadanie 3.2.

Linka jest przymocowana do osi walca (do pręta na osi symetrii), zatem siła naciągu linki $N$ działa na walec wzdłuż osi, ale ramię względem osi walca = 0. Tarcie statyczne $T$ działa w punkcie styku z podłożem (ramię $R$ ).

Dla walca (ruch postępowy): $N - T = m a_{w}$ , gdzie $a_{w}$ to przyspieszenie środka masy walca.

Dla walca (ruch obrotowy): $T \cdot R = I ε = \frac{1}{2} m R^{2} \cdot ε$ . Toczenie bez poślizgu: $a_{w} = εR$ , więc $T = \frac{1}{2} m a_{w}$ .

Dla ciężarka: $m g - N = ma$ , gdzie $a$ – przyspieszenie ciężarka.

Więź geometryczna: linka jest nierozciągliwa i nawinięta tak, że prędkość punktu osi walca = prędkość linki = prędkość ciężarka. Zatem $a = a_{w}$ .

Podstawiając $T = \frac{1}{2} ma$ do równania walca:

$N - \frac{1}{2} ma = ma \Rightarrow N = \frac{3}{2} ma$

Z równania ciężarka:

$m g - \frac{3}{2} ma = ma \Rightarrow m g = \frac{5}{2} ma$

$a = \frac{2}{5} g$

Typowy błąd / pułapka

Linka mocowana do osi walca, nie do jego obwodu — siła naciągu nie tworzy momentu względem osi walca. Moment obrotowy daje TYLKO tarcie statyczne w punkcie styku.
Warunek toczenia bez poślizgu: $v = ω R$ , $a = εR$ . Bez tego nie zlinkujesz ruchu obrotowego z postępowym.
$a_{w} = a$ tylko dlatego, że linka idzie z osi walca do ciężarka — gdyby była nawinięta na walec (przy obwodzie), $a_{w} \neq = a$ .
Często mylone: tarcie statyczne NIE wykonuje pracy (punkt styku ma chwilową prędkość 0) — energia jest zachowana, ale "redystrybuowana" między walec a ciężarek.

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 3 - fizyka 2023 PR — Strona arkusza CKE 2023 PR fizyka - zadanie 3. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 8

Rozwiązanie

Zadanie 3.1.

P — toczenie bez poślizgu $\Rightarrow$ jeden obrót = obwód $= 2 π R$ .
P — $E_{k, obr} / E_{k, post} = \frac{1}{2} I ω^{2} / \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2}$ .
F — ciężarek sam ma energię kinetyczną $\frac{1}{2} m a^{2} t^{2} /2$ , nie cała $Δ E_{p}$ trafia do walca.

Zadanie 3.2.

Równania:

$m g - N = ma (ci ę \overset{z}{˙} arek)$

$N - T = ma (walec, ruch post ę powy)$

$TR = \frac{1}{2} m R^{2} ε, ε = a / R \Rightarrow T = \frac{1}{2} ma$

Eliminacja $N$ i $T$ :

$m g - \frac{3}{2} ma = ma \Rightarrow a = \frac{2}{5} g$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności walca, ruch obrotowy, zasada zachowania energii, II zasada dynamiki dla obrotu, walec na stole" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl