MFIP-R0-100-2305 • Otwarte rozszerzone • 5 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 10

Matura z fizyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

Podstawa programowa fizyki PR — dział X (Szczególna teoria względności i fizyka atomowa): energia spoczynkowa, energia kinetyczna relatywistyczna, czynnik Lorentza, jednostki energii (eV).

Treść zadania

Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu $U$ do prędkości o wartości $v$ . Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej.

Zadanie 10.1. (0–1)

Na którym wykresie (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono zależność energii całkowitej $E$ (sumy energii kinetycznej i spoczynkowej) elektronu od jego prędkości? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresy A, B, C, D pokazują $E (v)$ z osią $v$ od 0 do $2 c$ i osią $E$ z wartościami $m c^{2}, 2 m c^{2}, 3 m c^{2}$ . Krzywa relatywistyczna ma asymptotę pionową przy $v \to c$ .

A. krzywa zaczyna od

m c^{2}

przy

v = 0

, łagodnie rośnie do

\infty

przy

v = c

, nie istnieje dla

v > c

B. krzywa zaczyna od 0 przy

v = 0

, gwałtownie rośnieC. krzywa zaczyna od

m c^{2}

, jest stała aż do

v = c

D. krzywa rośnie liniowo

Zadanie 10.2. (0–3)

Oblicz iloraz $\frac{v}{c}$ , gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Zadanie 10.3. (0–1)

Energia spoczynkowa elektronu jest równa (w zaokrągleniu) $E_{0} = 5, 1 \cdot 1 0^{5} eV$ .

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.

Napięcie $U$ pola elektrycznego, w którym został rozpędzony elektron, wynosi ……….. V.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Zadanie 10.1.

Energia całkowita relatywistyczna:

$E = γm c^{2} = \frac{m c ^{2}}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

Dla $v = 0$ : $E = m c^{2}$ (energia spoczynkowa). Dla $v \to c$ : $E \to \infty$ (asymptota pionowa). Funkcja jest monotoniczne rosnąca, wypukła, z asymptotą przy $v = c$ , NIE istnieje dla $v > c$ .

Odpowiedź: A (wykres zaczynający się od $m c^{2}$ , rosnący do nieskończoności przy $v = c$ ).

Zadanie 10.2.

Energia kinetyczna relatywistyczna:

$E_{k} = (γ - 1) m c^{2}$

Z warunku $E_{k} = 2 m c^{2}$ :

$γ - 1 = 2 \Rightarrow γ = 3$

$\frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3$

$1 - v^{2} / c^{2} = \frac{1}{3}$

$1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{9}$

$\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\frac{v}{c} = \frac{8}{9} = \frac{2 2}{3} \approx 0, 9428$

Odpowiedź: $\frac{v}{c} \approx 0, 94$ .

Zadanie 10.3.

Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu:

$e U = E_{k} = 2 E_{0}$

$U = \frac{2 E _{0}}{e}$

W jednostkach eV/V: $\frac{E _{0}}{e} = 5, 1 \cdot 1 0^{5} V$ (bo 1 eV pracy odpowiada 1 V napięcia dla ładunku elektronu).

$U = 2 \cdot 5, 1 \cdot 1 0^{5} V = 1, 02 \cdot 1 0^{6} V$

Odpowiedź: $U = 1, 02 \cdot 1 0^{6} V \approx 1, 02 MV$ (lub równoważnie: $U = 1020000 V$ ).

Typowy błąd / pułapka

NIE używaj klasycznego $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ przy prędkościach bliskich $c$ — dawałoby wynik $v > c$ , fizyczny absurd.
Energia kinetyczna relatywistyczna: $E_{k} = (γ - 1) m c^{2}$ , NIE $γm c^{2}$ (to całkowita).
Definicja eV: 1 eV = praca, jaką wykonuje pole o napięciu 1 V przy przeniesieniu ładunku elementarnego $e$ . Stąd $E [eV] = U [V]$ w bezpośredniej konwersji.
Energia spoczynkowa elektronu: $m_{e} c^{2} = 0, 511 MeV = 5, 11 \cdot 1 0^{5} eV$ .
Czynnik Lorentza dla $E_{k} = 2 E_{0}$ : $γ = 3$ , $v / c = 8/9$ .

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 10 - fizyka 2023 PR — Strona arkusza CKE 2023 PR fizyka - zadanie 10. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 24

Rozwiązanie

Zadanie 10.1.

$E (v) = γm c^{2}$ : rośnie od $m c^{2}$ przy $v = 0$ do $\infty$ przy $v \to c$ . Odpowiedź: A.

Zadanie 10.2.

$E_{k} = 2 E_{0} \Rightarrow γ = 3 \Rightarrow v / c = 8/9 \approx 0, 94$ .

Zadanie 10.3.

$U = \frac{E _{k}}{e} = \frac{2 E _{0}}{e} = 2 \cdot 5, 1 \cdot 1 0^{5} V = 1, 02 \cdot 1 0^{6} V$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia spoczynkowa, rozpędzanie elektronu w polu elektrycznym, czynnik Lorentza, jednostki energii eV" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl