MFAP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 6 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 11

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

I.7) wyodrębnia z […] wykresów […] informacje kluczowe dla opisywanego zjawiska bądź problemu […]; XII.12) opisuje rozpad izotopu promieniotwórczego; posługuje się pojęciem czasu połowicznego rozpadu (11.1); I.2) posługuje się […] tablicami fizycznymi i chemicznymi oraz kartą wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych (11.2, 11.3); XII.5) posługuje się pojęciami pierwiastek, jądro atomowe, izotop, proton, neutron, elektron; opisuje skład jądra atomowego na podstawie liczb masowej i atomowej; XII.6) zapisuje reakcje jądrowe stosując zasadę zachowania liczby nukleonów i zasadę zachowania ładunku; XII.9) […] opisuje rozpady alfa, beta (β+, β−) (11.2); XII.3) opisuje równoważność masy i energii spoczynkowej; XII.7) stosuje zasadę zachowania energii do opisu reakcji jądrowych […]; XII.8) oblicza dla dowolnego izotopu energię spoczynkową […] (11.3). Wymagania egzaminacyjne 2024.

Treść zadania

Zadanie 11.

Izotop fluoru $_{9}^{18} F$ ulega rozpadowi $β^{+}$ . Powstają: cząstka $β^{+}$ , jądro pewnego pierwiastka X oraz neutrino elektronowe $ν$ (ładunek zerowy, masę pomijamy). Masy jąder i cząstek:

$m_{F} = 17, 99600 u$ – masa jądra fluoru $_{9}^{18} F$ ,
$m_{X} = 17, 99477 u$ – masa powstałego jądra,
$m_{β} = 0, 00055 u$ – masa cząstki $β^{+}$ ,
$m_{ν} = 0, 00000 u$ .

Próbkę z izotopem bada licznik, który pokazuje łączną liczbę rozpadów po danym czasie. Na wykresie przedstawiono zależność ilorazu $N_{r} / N_{0}$ od czasu $t$ (w minutach), gdzie $N_{0}$ – początkowa liczba jąder fluoru, $N_{r}$ – łączna liczba jąder, które uległy rozpadowi.

Zadanie 11.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Czas połowicznego rozpadu jądra fluoru $_{9}^{18} F$ wynosi ………… minut.

Zadanie 11.2. (0–2)

Uzupełnij schemat rozpadu $β^{+}$ (bez neutrina): $_{9}^{18} F \to_{\dots}^{\dots} X + β^{+}$ – wpisz liczby atomową i masową oraz symbol (lub nazwę) pierwiastka X.

Zadanie 11.3. (0–3)

Przyjmij, że jądro fluoru przed rozpadem spoczywało, oraz wykorzystaj związek $1 u \cdot c^{2} \approx 931, 5 MeV$ . Oblicz łączną energię kinetyczną produktów rozpadu $β^{+}$ jądra fluoru. Wynik podaj w MeV, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. Zapisz obliczenia.

Wykres zależności ilorazu N_r/N₀ (łącznej liczby rozpadów do początkowej liczby jąder fluoru-18) od czasu t w minutach, od 0 do ok. 700 minut. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 25

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

11.1. Po upływie czasu połowicznego rozpadu rozpadnie się połowa jąder, więc odczytujemy z wykresu czas, dla którego $N_{r} / N_{0} = 0, 5$ : $T_{1/2} = 110$ min (wartość z zasad oceniania CKE).

$T_{1/2} \approx 110 min$

11.2. Rozpad $β^{+}$ : w jądrze proton przekształca się w neutron, emitowany jest pozyton ( $e^{+}$ , czyli $β^{+}$ ) i neutrino elektronowe $ν_{e}$ :

$p \to n + e^{+} + ν_{e}$

Skutek dla jądra: $Z$ maleje o 1, $A$ bez zmian.

$_{9}^{18} F \to_{8}^{18} O + e^{+} + ν_{e}$

Stąd: $A = 18$ , $Z = 8$ , jądro-produkt = tlen $^{18} O$ .

$_{9}^{18} F \to_{8}^{18} O + e^{+} + ν_{e}$

11.3. Z zasady zachowania energii (jądro fluoru spoczywało, masę neutrina pomijamy):
$m_{F} c^{2} = m_{X} c^{2} + m_{β} c^{2} + E_{kin}$
$E_{kin} = (m_{F} - m_{X} - m_{β}) c^{2} = (17, 99600 - 17, 99477 - 0, 00055) u \cdot c^{2} = 0, 00068 u \cdot c^{2}$
$E_{kin} = 0, 00068 \cdot 931, 5 MeV \approx 0, 633 MeV$

$E_{kin} \approx 0, 63 MeV$

To łączna energia kinetyczna wszystkich produktów: jądra X, cząstki $β^{+}$ i neutrina.

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 11.1 — odczyt czasu, po którym na wykresie $N_{r} / N_{0}$ zbliża się do 1, zamiast czasu, dla którego $N_{r} / N_{0} = 0, 5$ . Wykres pokazuje liczbę jąder, które się rozpadły, a nie tych, które pozostały.

Pułapka 11.2 — pomylenie $β^{-}$ z $β^{+}$ :

$β^{-}$ : $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ , $Z$ ROŚNIE o 1 (przykład: $^{14} C \to^{14} N$ ).
$β^{+}$ : $p \to n + e^{+} + ν_{e}$ , $Z$ MALEJE o 1 (tutaj: $9 \to 8$ , F → O).

Pułapka 11.3 — pominięcie masy cząstki $β^{+}$ w bilansie. W zadaniu podano masy jąder, więc od masy jądra fluoru odejmujemy masę jądra X i masę pozytonu (jeden raz). Pominięcie $m_{β}$ daje błędny wynik ok. 1,1 MeV.

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 11 - rozpad beta plus F-18 — Strona 25-27 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 11 (rozpad β+ F-18, wykres N_r/N_0(t), defekt masy). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 25

Klucz — rozpady promieniotwórcze

Rozpad $α$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} He$ . Typowo: ciężkie jądra (uran, rad, polon).

Rozpad $β^{-}$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z + 1}^{A} Y + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ . $n \to p$ . Typowo: jądra z nadmiarem neutronów ( $^{14}$ C, $^{60}$ Co, $^{137}$ Cs).

Rozpad $β^{+}$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z - 1}^{A} Y + e^{+} + ν_{e}$ . $p \to n$ . Typowo: jądra z nadmiarem protonów ( $^{18}$ F, $^{11}$ C, $^{15}$ O — wszystkie używane w PET).

Defekt masy → energia: $Q = Δ m \cdot c^{2}$ , gdzie 1 u·c² = 931,5 MeV. Energia wydziela się w postaci kinetycznej produktów + (w niektórych rozpadach) fotonu $γ$ .

Po co to umieć

$^{18} F$ jest stosowany w diagnostyce PET (pozytonowej tomografii emisyjnej), m.in. w postaci znakowanej glukozy (fluorodeoksyglukozy, $^{18}$ F-FDG), która gromadzi się w komórkach o wysokiej aktywności metabolicznej. Emitowane pozytony anihilują z elektronami, a powstające fotony (po $511 keV$ , biegnące w przeciwnych kierunkach) rejestrują detektory. Czas połowicznego rozpadu ok. $110$ min pozwala przygotować i podać preparat, a jednocześnie aktywność próbki szybko maleje. $^{18}$ F wytwarza się w cyklotronach, np. w reakcji $^{18} O (p, n)^{18} F$ .

Podobne zadania

fizyka jądrowa, reakcja jądrowa, izotopy nietrwałe, rozpady alfa, deficyt masy, energia wiązania, jednostka masy atomowej

Zadanie 11 (6 pkt)

maj 2023 • PR

Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem $\text{Cn}$, ma liczbę atomową $Z = 112$. Izotop $^{277}\text{Cn}$ tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami cynku $^{70}\text{Zn}$. Kopernik $^{277}\text{Cn}$ jest izotopem nietrwałym. *Uwaga:* W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki. ### Zadanie 11.1. (0–1) Poniżej przedstawiono schemat reakcji jądrowej, w wyniku której powstają jądro izotopu $^{277}\text{Cn}$ oraz pewna cząstka. $$^{208}_{\ \ldots}\text{Pb} + ^{70}_{\ \ldots}\text{Zn} \rightarrow ^{277}_{\ \ldots}\text{Cn} + \ldots$$ Uzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie reakcji jądrowej. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz symbol lub nazwę cząstki, która powstaje w tej reakcji. ### Zadanie 11.2. (0–2) W wyniku sześciu kolejnych rozpadów $\alpha$, z których pierwszy jest rozpadem jądra $^{277}\text{Cn}$, powstało jądro pewnego pierwiastka. Podaj nazwę lub symbol pierwiastka, którego jądro powstało w wyniku tych sześciu rozpadów. Zapisz obliczenia. ### Zadanie 11.3. (0–3) Masa jądra izotopu $^{277}\text{Cn}$ jest równa $m_{\text{Cn}} = 460{,}138\,852 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$. Oblicz najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra $^{277}\text{Cn}$, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „fizyka jądrowa, rozpad beta plus, czas połowicznego rozpadu, energia wiązania, defekt masy” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl