MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 6 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 11

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

VII.3 — fizyka jądrowa. Rozpady promieniotwórcze ( $α$ , $β^{\pm}$ , $γ$ ), defekt masy, energia wiązania, czas połowicznego rozpadu. Bilans liczb $A$ i $Z$ .

Treść zadania

Zadanie 11.

Izotop fluoru $_{9}^{18} F$ ulega rozpadowi $β^{+}$ . Masy:

$m_{F} = 17, 99680 u$ (masa atomu $^{18} F$ ),
$m_{X} = 17, 99477 u$ (masa atomu produktu rozpadu),
$m_{β} = 0, 00055 u$ (masa pozytonu),
$m_{ν} \approx 0$ (masa neutrina pomijalna).

$1 u \cdot c^{2} \approx 931, 5 MeV$ .

Na wykresie podano zależność $N_{F} / N_{0}$ (stosunek liczby jąder fluoru pozostałych do początkowej) od czasu $t$ .

Zadanie 11.1. (0–1)

Z wykresu odczytaj czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ izotopu $^{18} F$ . Wynik podaj w minutach.

Zadanie 11.2. (0–2)

Zapisz schemat reakcji rozpadu $β^{+}$ izotopu $_{9}^{18} F$ . Podaj liczbę masową $A$ , liczbę atomową $Z$ oraz symbol chemiczny jądra-produktu rozpadu (jądra $X$ ).

Zadanie 11.3. (0–3)

Oblicz energię kinetyczną unoszoną sumarycznie przez produkty rozpadu (pozyton i neutrino) wyrażoną w MeV. Załóż, że jądro fluoru przed rozpadem spoczywało, a energia odrzutu jądra-produktu jest pomijalna.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

11.1. Z wykresu odczytujemy $t$ , dla którego $N_{F} / N_{0} = 0, 5$ . Dla $^{18} F$ : $T_{1/2} \approx 110$ min (≈ 109,77 min wg tablic).

$T_{1/2} \approx 110 min$

11.2. Rozpad $β^{+}$ : w jądrze proton przekształca się w neutron, emitowany jest pozyton ( $e^{+}$ , czyli $β^{+}$ ) i neutrino elektronowe $ν_{e}$ :

$p \to n + e^{+} + ν_{e}$

Skutek dla jądra: $Z$ maleje o 1, $A$ bez zmian.

$_{9}^{18} F \to_{8}^{18} O + e^{+} + ν_{e}$

Stąd: $A = 18$ , $Z = 8$ , jądro-produkt = tlen $^{18} O$ .

$_{9}^{18} F \to_{8}^{18} O + e^{+} + ν_{e}$

11.3. Defekt masy (uwaga: pracujemy z masami atomowymi, więc trzeba odjąć od masy fluoru masę produktu plus dodatkowo pozyton, bo masa atomu tlenu zawiera $Z = 8$ elektronów, a fluoru $Z = 9$ → przy przejściu jeden elektron "ucieka jako pozyton" ALE w bilansie atomowym uwzględnia to się przez dodanie 2 $m_{e}$ do produktów):

Dla rozpadu $β^{+}$ z masami atomowymi:
$Δ m = m_{F} - m_{X} - 2 m_{e}$

Gdzie $m_{e} = 0, 00055 u$ (masa pozytonu = masa elektronu).

$Δ m = 17, 99680 - 17, 99477 - 2 \cdot 0, 00055 = 17, 99680 - 17, 99477 - 0, 00110$

$Δ m = 0, 00203 - 0, 00110 = 0, 00093 u$

Energia wydzielona (= energia kinetyczna produktów):
$Q = Δ m \cdot c^{2} = 0, 00093 \cdot 931, 5 MeV \approx 0, 866 MeV$

$E_{kin}^{p ro d u k t y} \approx 0, 87 MeV \approx 870 keV$

(Jest to maksymalna energia pozytonu w rozpadzie $^{18} F$ , znana z tablic jako $E_{ma x, β +} \approx 633 keV$ — różnica wynika z tego, że pozyton dzieli energię z neutrinem; tutaj liczymy SUMĘ obu.)

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 11.1 — odczyt z wykresu w niewłaściwych jednostkach (np. sekundach zamiast minutach). Sprawdź podpis osi i jednostki.

Pułapka 11.2 — pomylenie $β^{-}$ z $β^{+}$ :

$β^{-}$ : $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ , $Z$ ROŚNIE o 1 (przykład: $^{14} C \to^{14} N$ ).
$β^{+}$ : $p \to n + e^{+} + ν_{e}$ , $Z$ MALEJE o 1 (tutaj: $9 \to 8$ , F → O).

Pułapka 11.3 — pominięcie czynnika $2 m_{e}$ w defekcie masy. Przy zapisie z masami atomowymi: dla $β^{+}$ należy odjąć $2 m_{e}$ (jeden elektron "zniknął" z chmury fluoru przy zmianie $Z$ , drugi to wyemitowany pozyton). Dla $β^{-}$ : nie odejmujemy nic (masa elektronu wyemitowanego = masa elektronu, który "doszedł" do chmury produktu).

Pułapka 11.3 — założenie, że cała energia idzie w pozyton. NIE: dzieli się między pozytonem a neutrinem (stąd CIĄGŁE widmo energii beta, w przeciwieństwie do alfa, który ma widmo dyskretne). Tu pytanie o sumę = znamy z bilansu masy.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 11 - rozpad beta plus F-18 — Strona 25-27 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 11 (rozpad β+ F-18, wykres N_F/N_0(t), defekt masy). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 25

Klucz — rozpady promieniotwórcze

Rozpad $α$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} He$ . Typowo: ciężkie jądra (uran, rad, polon).

Rozpad $β^{-}$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z + 1}^{A} Y + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ . $n \to p$ . Typowo: jądra z nadmiarem neutronów ( $^{14}$ C, $^{60}$ Co, $^{137}$ Cs).

Rozpad $β^{+}$ : $_{Z}^{A} X \to_{Z - 1}^{A} Y + e^{+} + ν_{e}$ . $p \to n$ . Typowo: jądra z nadmiarem protonów ( $^{18}$ F, $^{11}$ C, $^{15}$ O — wszystkie używane w PET).

Defekt masy → energia: $Q = Δ m \cdot c^{2}$ , gdzie 1 u·c² = 931,5 MeV. Energia wydziela się w postaci kinetycznej produktów + (w niektórych rozpadach) fotonu $γ$ .

Po co to umieć

$^{18} F$ to kluczowy radiofarmaceutyk PET (Positron Emission Tomography). Wstrzykuje się 18F-deoksyglukozę (18F-FDG), która gromadzi się w komórkach o wysokiej aktywności metabolicznej (m.in. nowotwory). Emitowane pozytony anihilują z elektronami → 2 fotony 511 keV w przeciwnych kierunkach → detekcja koincydencji → trójwymiarowy obraz aktywności metabolicznej tkanek. $T_{1/2} \approx 110$ min jest idealny: wystarczająco długi by zsyntetyzować, transportować i podać pacjentowi, ale wystarczająco krótki by minimalizować dawkę. F-18 produkuje się w cyklotronach przyszpitalnych: $^{18} O (p, n)^{18} F$ .

Podobne zadania

fizyka jądrowa, reakcja jądrowa, kopernik, izotopy nietrwałe, rozpady alfa, deficyt masy, energia wiązania, jednostka masy atomowej

Zadanie 11 (6 pkt)

maj 2023 • PR

Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem $\text{Cn}$, ma liczbę atomową $Z = 112$. Izotop $^{277}\text{Cn}$ tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami $^{70}\text{Zn}$. Kopernik $^{277}\text{Cn}$ jest izotopem nietrwałym. *Uwaga:* W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki. ### Zadanie 11.1. (0–1) Poniżej przedstawiono schemat reakcji jądrowej, w wyniku której powstają jądro izotopu $^{277}\text{Cn}$ oraz pewna cząstka. $$^{208}_{82}\text{Pb} + ^{70}_{30}\text{Zn} \rightarrow ^{277}_{112}\text{Cn} + \ldots$$ Uzupełnij powyższy schemat reakcji jądrowej tak, aby powstało równanie reakcji jądrowej. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz symbol lub nazwę cząstki, która powstaje w tej reakcji. ### Zadanie 11.2. (0–2) W wyniku sześciu kolejnych rozpadów $\alpha$, z których pierwszy jest rozpadem jądra $^{277}\text{Cn}$, powstało jądro pewnego pierwiastka. Podaj nazwę lub symbol pierwiastka, którego jądro powstało w wyniku tych sześciu rozpadów. Zapisz obliczenia. ### Zadanie 11.3. (0–3) Masa jądra izotopu $^{277}\text{Cn}$ jest równa $m_{\text{Cn}} = 460{,}138\,852 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$. Oblicz najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra $^{277}\text{Cn}$, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „fizyka jądrowa, rozpad beta plus, czas połowicznego rozpadu, energia wiązania, defekt masy" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl