MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 4 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 10

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

VI.2 — fizyka relatywistyczna. Energia całkowita, kinetyczna i spoczynkowa, czynnik Lorentza, praca pola elektrycznego dla cząstki relatywistycznej.

Treść zadania

Zadanie 10.

W akceleratorze elektron został rozpędzony do prędkości $v_{B} = 2 \cdot 1 0^{8} m/s$ . Energia spoczynkowa elektronu wynosi $E_{0} \approx 5, 11 \cdot 1 0^{5} eV$ (czyli $m_{e} c^{2} \approx 0, 511$ MeV). Prędkość światła $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ . Ładunek elementarny $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Zadanie 10.1. (0–1)

Oblicz iloraz energii całkowitej elektronu $E_{B}$ do jego energii spoczynkowej $E_{0}$ . Wynik podaj zaokrąglony do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 10.2. (0–3)

Aby rozpędzić elektron ze stanu spoczynku (punkt $A$ ) do prędkości $v_{B}$ , między punktami $A$ i $B$ zastosowano różnicę potencjałów $U_{A B}$ . Oblicz wartość tej różnicy potencjałów $U_{A B}$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

10.1. Czynnik Lorentza:

$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = \frac{1}{1 - ( 2/3 ) ^{2}} = \frac{1}{1 - 4/9} = \frac{1}{5/9} = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}$

$γ \approx \frac{3 \cdot 2 , 236}{5} \approx 1, 342$

Energia całkowita $E = γm c^{2} = γ E_{0}$ , więc:

$\frac{E _{B}}{E _{0}} = γ \approx 1, 34$

$\frac{E _{B}}{E _{0}} \approx 1, 34$

10.2. Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu po przyśpieszeniu:

$e \cdot U_{A B} = E_{kin} = E_{B} - E_{0} = (γ - 1) E_{0}$

$U_{A B} = \frac{( γ - 1 ) E _{0}}{e}$

W elektronowoltach (od razu): $U_{A B} [V] = (γ - 1) \cdot E_{0} [eV]$

$U_{A B} = (1, 342 - 1) \cdot 5, 11 \cdot 1 0^{5} = 0, 342 \cdot 5, 11 \cdot 1 0^{5} \approx 1, 748 \cdot 1 0^{5} V$

$U_{A B} \approx 1, 75 \cdot 1 0^{5} V = 175 kV$

Sprawdzenie nierelatywistyczne: gdybyśmy użyli $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , dostalibyśmy:
$U = \frac{m v ^{2}}{2 e} = \frac{9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot ( 2 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}}{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 1, 14 \cdot 1 0^{5} V = 114 kV$

Czyli błąd ~35%. To pokazuje, że dla $v = 2/3 \cdot c$ ABSOLUTNIE TRZEBA użyć wzorów relatywistycznych.

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 10.1 — użycie wzoru nierelatywistycznego. Dla $v = 2 \cdot 1 0^{8}$ m/s $= 0, 667 c$ błąd jest już duży — efekty relatywistyczne są istotne (czynnik Lorentza $γ \neq = 1$ ).

Pułapka 10.1 — pomylenie $E_{B}$ i $E_{kin}$ . Energia całkowita $E = γm c^{2}$ (suma spoczynkowej i kinetycznej). Energia kinetyczna $E_{kin} = (γ - 1) m c^{2}$ . Iloraz $E_{B} / E_{0} = γ$ , NIE $γ - 1$ .

Pułapka 10.2 — użycie $e \cdot U = \frac{1}{2} m v^{2}$ (klasyczny wzór). To poprawne TYLKO dla $v ≪ c$ . Dla relatywistycznych: $e U = (γ - 1) m c^{2}$ .

Pułapka — pomyłka jednostek. $E_{0} = 0, 511$ MeV $= 5, 11 \cdot 1 0^{5}$ eV. Skoro $e U = E_{kin}$ , a $E_{kin}$ wyrażone w eV daje od razu $U$ w V (definicja eV: 1 eV = energia uzyskana przez elektron pokonujący napięcie 1 V).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 10 - elektron przyspieszony w akceleratorze, relatywistyczna kinematyka — Strona 24-25 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 10 (elektron v_B = 2e8 m/s, E_0 = 0,511 MeV). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 24

Klucz — kinematyka relatywistyczna

Czynnik Lorentza: $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ . Dla $v = 2 c /3$ : $γ = 3/ 5 \approx 1, 34$ . Dla $v \to c$ : $γ \to \infty$ .

Energia w SRT:

Spoczynkowa: $E_{0} = m c^{2}$ (Einstein, 1905).
Całkowita: $E = γm c^{2}$ .
Kinetyczna: $E_{kin} = E - E_{0} = (γ - 1) m c^{2}$ .

Praca pola elektrycznego: $W = q U$ . Zamienia się na energię kinetyczną cząstki. Dla elektronu w polu $U$ : $e U = (γ - 1) m_{e} c^{2}$ .

Elektronowolt (eV) to jednostka energii zdefiniowana tak, że $1 eV = 1 e \cdot 1 V$ . Stąd: jeśli wyrazisz $E_{kin}$ w eV, to $U$ liczbowo = $E_{kin} / e$ w V.

Po co to umieć

LHC w CERN: protony przyśpieszone do $γ \approx 7000$ ( $v \approx 0, 999999990 c$ , energia 6.5 TeV). Tomografia PET: pozytrony (antyelektrony) z rozpadu izotopu (F-18, C-11) anihilują z elektronami → 2 fotony 511 keV (= $m_{e} c^{2}$ , dokładnie energia spoczynkowa elektronu). Lampa rentgenowska: elektrony przyśpieszone przez $U \sim 100$ kV (rzeczywista praktyka).

Podobne zadania

szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia kinetyczna

Zadanie 10 (3 pkt)

maj 2025 • PR

Cząstka porusza się z prędkością $v = \tfrac{1}{2} c$, gdzie $c$ to prędkość światła w próżni. Jej energia kinetyczna wynosi $E_k = 79{,}05 \text{ keV}$. **Zadanie 10. (0–3)** Oblicz energię spoczynkową $E_0$ cząstki. Wynik podaj w keV z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „kinematyka relatywistyczna, energia całkowita, energia spoczynkowa, czynnik Lorentza" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl