MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 4 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 8

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

IV.1 — termodynamika. I zasada, przemiany gazowe (izochoryczna, izobaryczna), cykl silnika cieplnego, energia wewnętrzna gazu doskonałego.

Treść zadania

Zadanie 8.

Cykl pracy silnika cieplnego, którego czynnikiem roboczym jest pewna ilość gazu doskonałego jednoatomowego, przedstawiono na wykresie zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ (oś pozioma: $V$ , w jednostkach $V_{1}$ ; oś pionowa: $p$ , w jednostkach $p_{1}$ ). Cykl: $G_{1} \to G_{2} \to G_{3} \to G_{4} \to G_{1}$ , gdzie:

$G_{1} = (V_{1}, p_{1})$ ,
$G_{2} = (V_{1}, 3 p_{1})$ — przemiana izochoryczna $1 \to 2$ (V = const, ciśnienie rośnie 3×),
$G_{3} = (3 V_{1}, 3 p_{1})$ — przemiana izobaryczna $2 \to 3$ (p = const, objętość rośnie 3×),
$G_{4} = (3 V_{1}, p_{1})$ — przemiana izochoryczna $3 \to 4$ (V = const, p maleje),
$4 \to 1$ — przemiana izobaryczna (p = const, V maleje).

Ciepło molowe gazu w stałej objętości: $C_{V} = \frac{3}{2} R$ . Sumaryczna wartość bezwzględna ciepła odprowadzonego przez gaz w cyklu wynosi $∣ Q_{o dd} ∣ = 9, 5 p_{1} V_{1}$ .

Zadanie 8.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sumaryczne ciepło pobrane przez gaz w jednym cyklu pracy silnika wynosi:

5, 5 p_{1} V_{1}

7, 5 p_{1} V_{1}

11, 5 p_{1} V_{1}

13, 5 p_{1} V_{1}

Zadanie 8.2. (0–3)

Wyprowadź wzór na wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu $∣Δ U_{4 \to 1} ∣$ w przemianie z $G_{4}$ do $G_{1}$ . Wynik podaj w jednostkach $p_{1} V_{1}$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

8.1. Praca wykonana w cyklu = pole pod krzywą = pole prostokąta $G_{2} G_{3} G_{4} G_{1}$ projektowane na oś $V$ :

$W_{cy k l} = Δ p \cdot Δ V = (3 p_{1} - p_{1}) (3 V_{1} - V_{1}) = 2 p_{1} \cdot 2 V_{1} = 4 p_{1} V_{1}$

I zasada termodynamiki dla cyklu: $Δ U = 0$ (powrót do stanu początkowego), więc $Q_{n e tt o} = W$ .

$Q_{p o b} - ∣ Q_{o dd} ∣ = W_{cy k l}$
$Q_{p o b} = W_{cy k l} + ∣ Q_{o dd} ∣ = 4 + 9, 5 = 13, 5 p_{1} V_{1}$

Odpowiedź: D. $13, 5 p_{1} V_{1}$ .

8.2. Przemiana $4 \to 1$ jest izobaryczna ( $p = p_{1}$ , $V$ maleje z $3 V_{1}$ do $V_{1}$ ).

Z równania stanu gazu doskonałego: $p V = n RT$ . Dla stanu $G_{4}$ : $T_{4} = \frac{p _{1} \cdot 3 V _{1}}{n R} = \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R}$ . Dla $G_{1}$ : $T_{1} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$ .

$Δ T_{4 \to 1} = T_{1} - T_{4} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R} - \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R} = - \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}$

Zmiana energii wewnętrznej:

$Δ U_{4 \to 1} = n C_{V} Δ T = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (- \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}) = - 3 p_{1} V_{1}$

$∣Δ U_{4 \to 1} ∣ = 3 p_{1} V_{1}$

(Wartość bezwzględna, bo zmiana jest ujemna — gaz się ochładza.)

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 8.1 — pominięcie faktu, że pole pod cyklem jest pracą NETTO. Często liczy się tylko pracę w jednej przemianie. Cykl = pole zamkniętego konturu na wykresie $p$ - $V$ .

Pułapka 8.1 — pomylenie znaków $Q_{p o b}$ i $∣ Q_{o dd} ∣$ . I zasada: $Q_{p o b} = W + ∣ Q_{o dd} ∣$ (ciepło pobrane = praca + ciepło odprowadzone). NIE odwrotnie.

Pułapka 8.2 — założenie że $Δ U$ zależy od ścieżki. NIE: $Δ U = n C_{V} Δ T$ ZAWSZE dla gazu doskonałego, niezależnie od typu przemiany. Klucz to różnica temperatur (lub równoważnie różnica $p V$ ).

Pułapka 8.2 — użycie $C_{p}$ zamiast $C_{V}$ . Energia wewnętrzna gazu doskonałego = TYLKO energia kinetyczna cząsteczek = $n C_{V} T$ ( $C_{V}$ , nie $C_{p}$ ). $C_{p}$ pojawia się w izobarycznym przy obliczeniu ciepła ( $Q = n C_{p} Δ T$ ), ale $Δ U$ ZAWSZE liczymy z $C_{V}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 8 - cykl silnika cieplnego na wykresie p-V — Strona 20-21 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 8 (prostokątny cykl G1-G2-G3-G4, gaz doskonały). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 20

Klucz — cykl silnika

I zasada termodynamiki: $Δ U = Q - W$ (Q dodatnie = pobrane, W dodatnie = wykonane przez gaz).

Cykl zamknięty: $Δ U_{cy k l} = 0$ , więc $W_{cy k l} = Q_{n e tt o} = Q_{p o b} - ∣ Q_{o dd} ∣$ . Praca w cyklu = pole zamkniętego konturu na wykresie $p$ - $V$ .

Energia wewnętrzna gazu doskonałego: $U = n C_{V} T$ . Zmiana $Δ U = n C_{V} Δ T$ — niezależnie od ścieżki. Dla jednoatomowego: $C_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Sprawność silnika cieplnego: $η = W / Q_{p o b} = 1 - ∣ Q_{o dd} ∣/ Q_{p o b}$ . Tu: $η = 4/13, 5 \approx 30%$ .

Po co to umieć

Cykl prostokątny p-V to model uproszczonego silnika spalinowego/cieplnego. Realne cykle: Otto (silnik benzynowy: 2 izochoryczne + 2 adiabatyczne), Diesel (1 izobaryczna + 1 izochoryczna + 2 adiabatyczne), Carnot (2 izoterme + 2 adiabatyczne — sprawność maksymalna). Sprawność realnych silników: Otto ~25%, Diesel ~40%, elektrownia węglowa ~38%, turbina gazowa CCGT ~60%. Limit termodynamiczny Carnot dla $T_{h} = 600$ K, $T_{c} = 300$ K: $1 - 300/600 = 50%$ .

Podobne zadania

magnetyzm, pole magnetyczne prądu prostoliniowego, reguła prawej dłoni

Zadanie 8 (3 pkt)

maj 2025 • PR

Przewodnik prostoliniowy umieszczono prostopadle do płaszczyzny rysunku. W punkcie $P_1$ oddalonym od przewodnika o $r_1$ wektor indukcji magnetycznej $\vec{B_1}$ ma kierunek pokazany na rysunku. Punkt $P_2$ znajduje się po przeciwnej stronie przewodnika w odległości $r_2 = 4r_1$. **Zadanie 8. (0–3)** Oznacz kierunek prądu w przewodniku (symbolem $\odot$ — "ku obserwatorowi" lub $\otimes$ — "od obserwatora"). Narysuj na rysunku wektor indukcji magnetycznej $\vec{B_2}$ w punkcie $P_2$ z zachowaniem proporcji jego długości względem $\vec{B_1}$.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „termodynamika, I zasada termodynamiki, cykl silnika cieplnego, gaz doskonały" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl