MFAP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 4 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 8

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

VI.7) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki do analizy przemian gazowych; rozróżnia przemiany: […] izobaryczną, izochoryczną […] gazów (8.1, 8.2); VI.10) analizuje wykresy przemian gazu doskonałego; VI.13) analizuje przepływ energii w postaci ciepła i pracy mechanicznej w silnikach […] cieplnych (8.1); VI.9) opisuje związek pomiędzy temperaturą w skali Kelvina a […] energią wewnętrzną gazu doskonałego; VI.11) stosuje równanie gazu doskonałego (równanie Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów gazu; VI.12) posługuje się pojęciem ciepła molowego gazu; interpretuje związek między ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu a ciepłem molowym w stałej objętości dla gazu doskonałego (8.2). Wymagania egzaminacyjne 2024.

Treść zadania

Zadanie 8.

Na wykresie zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ przedstawiono cykl przemian ustalonej masy gazu doskonałego w silniku cieplnym S. Gaz oddaje ciepło do chłodnicy, a pobiera z grzejnika. Stany, w których zmienia się rodzaj przemiany:

$G_{1} = (V_{1}; p_{1})$ ,
$G_{2} = (V_{1}; 2 p_{1})$ – przemiana $G_{1} \to G_{2}$ izochoryczna,
$G_{3} = (3 V_{1}; 2 p_{1})$ – przemiana $G_{2} \to G_{3}$ izobaryczna,
$G_{4} = (3 V_{1}; p_{1})$ – przemiana $G_{3} \to G_{4}$ izochoryczna, a $G_{4} \to G_{1}$ izobaryczna.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Zadanie 8.1. (0–1)

W cyklu pracy silnika S gaz oddaje do chłodnicy ciepło $∣ Q_{o dd} ∣ = 9, 5 p_{1} V_{1}$ . Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Ciepło pobrane z grzejnika przez gaz w cyklu pracy silnika S jest równe

13, 5 p_{1} V_{1}

11, 5 p_{1} V_{1}

7, 5 p_{1} V_{1}

5, 5 p_{1} V_{1}

Wskazówka: Wykorzystaj I zasadę termodynamiki i twierdzenie o obliczaniu pracy z wykresu.

Zadanie 8.2. (0–3)

Wyprowadź wzór na wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu $∣Δ U_{4 \to 1} ∣$ w przemianie z $G_{4}$ do $G_{1}$ . Wynik podaj w jednostkach $p_{1} V_{1}$ . Zapisz obliczenia.

Wykres p(V) cyklu przemian gazu w silniku: prostokąt o wierzchołkach G₁, G₂, G₃, G₄ między objętościami V₁ i 3V₁ oraz ciśnieniami p₁ i 2p₁. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 20

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

8.1. Praca wykonana przez gaz w cyklu jest równa polu prostokąta $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ :

$W_{cy k l} = Δ p \cdot Δ V = (2 p_{1} - p_{1}) (3 V_{1} - V_{1}) = p_{1} \cdot 2 V_{1} = 2 p_{1} V_{1}$

W cyklu gaz wraca do stanu początkowego, więc $Δ U = 0$ i z I zasady termodynamiki:

$∣ Q_{p o b} ∣ - ∣ Q_{o dd} ∣ = W_{cy k l}$
$∣ Q_{p o b} ∣ = W_{cy k l} + ∣ Q_{o dd} ∣ = 2 + 9, 5 = 11, 5 p_{1} V_{1}$

Odpowiedź: B. $11, 5 p_{1} V_{1}$ .

8.2. Przemiana $4 \to 1$ jest izobaryczna ( $p = p_{1}$ , $V$ maleje z $3 V_{1}$ do $V_{1}$ ).

Z równania stanu gazu doskonałego: $p V = n RT$ . Dla stanu $G_{4}$ : $T_{4} = \frac{p _{1} \cdot 3 V _{1}}{n R} = \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R}$ . Dla $G_{1}$ : $T_{1} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$ .

$Δ T_{4 \to 1} = T_{1} - T_{4} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R} - \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R} = - \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}$

Zmiana energii wewnętrznej:

$Δ U_{4 \to 1} = n C_{V} Δ T = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (- \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}) = - 3 p_{1} V_{1}$

$∣Δ U_{4 \to 1} ∣ = 3 p_{1} V_{1}$

(Wartość bezwzględna, bo zmiana jest ujemna — gaz się ochładza.)

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 8.1 — policzenie pracy tylko w jednej przemianie (np. pola pod odcinkiem $G_{2} G_{3}$ ) zamiast pracy w całym cyklu, równej polu wewnątrz zamkniętej krzywej na wykresie $p (V)$ .

Pułapka 8.1 — pomylenie znaków $Q_{p o b}$ i $∣ Q_{o dd} ∣$ . I zasada: $Q_{p o b} = W + ∣ Q_{o dd} ∣$ (ciepło pobrane = praca + ciepło odprowadzone). NIE odwrotnie.

Pułapka 8.2 — założenie że $Δ U$ zależy od ścieżki. NIE: $Δ U = n C_{V} Δ T$ ZAWSZE dla gazu doskonałego, niezależnie od typu przemiany. Klucz to różnica temperatur (lub równoważnie różnica $p V$ ).

Pułapka 8.2 — użycie $C_{p}$ zamiast $C_{V}$ . Energia wewnętrzna gazu doskonałego = TYLKO energia kinetyczna cząsteczek = $n C_{V} T$ ( $C_{V}$ , nie $C_{p}$ ). $C_{p}$ pojawia się w izobarycznym przy obliczeniu ciepła ( $Q = n C_{p} Δ T$ ), ale $Δ U$ ZAWSZE liczymy z $C_{V}$ .

Strona arkusza CKE z treścią zadania

Zadanie 8 - cykl silnika cieplnego na wykresie p-V — Strona 20-21 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 8 (prostokątny cykl G1-G2-G3-G4, gaz doskonały). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 20

Klucz — cykl silnika

I zasada termodynamiki: $Δ U = Q - W$ , gdy $Q$ dodatnie = pobrane, a $W$ dodatnie = praca wykonana przez gaz (w karcie wzorów CKE: $Δ U = Q + W$ , gdzie $W$ to praca wykonana nad gazem).

Cykl zamknięty: $Δ U_{cy k l} = 0$ , więc $W_{cy k l} = Q_{n e tt o} = Q_{p o b} - ∣ Q_{o dd} ∣$ . Praca w cyklu = pole zamkniętego konturu na wykresie $p$ - $V$ .

Energia wewnętrzna gazu doskonałego: $U = n C_{V} T$ . Zmiana $Δ U = n C_{V} Δ T$ — niezależnie od ścieżki. Dla jednoatomowego: $C_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Sprawność silnika cieplnego: $η = W / Q_{p o b} = 1 - ∣ Q_{o dd} ∣/ Q_{p o b}$ . Tu: $η = \frac{2 p _{1} V _{1}}{11 , 5 p _{1} V _{1}} \approx 17%$ .

Po co to umieć

Cykl prostokątny na wykresie $p (V)$ to uproszczony model silnika cieplnego. Modele silników spalinowych opisuje się innymi cyklami: Otto (2 izochory + 2 adiabaty), Diesla (izobara + izochora + 2 adiabaty). Teoretycznie największą sprawność przy danych temperaturach grzejnika i chłodnicy ma cykl Carnota (2 izotermy + 2 adiabaty): $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ , np. dla $T_{h} = 600$ K i $T_{c} = 300$ K: $1 - 300/600 = 50%$ .

Podobne zadania

magnetyzm, pole magnetyczne prądu prostoliniowego, reguła prawej dłoni

Zadanie 8 (3 pkt)

maj 2025 • PR

Na rysunku (w arkuszu) przedstawiono dwie wybrane linie pola magnetycznego wytwarzanego przez długi, prostoliniowy przewodnik $\mathcal{P}$ z prądem umieszczony w próżni. Na rysunku przedstawiono widok płaszczyzny prostopadłej do przewodnika $\mathcal{P}$. (Odczyt z rysunku: strzałki na liniach pola wskazują obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara; punkt $P_1$ leży na mniejszym okręgu pod przewodnikiem, $\vec{B}_1$ jest skierowany w lewo i ma długość 8 kratek; punkt $P_2$ leży na większym okręgu, na prawo od przewodnika). Przyjmij następujące założenia oraz dane: - linie pola są współśrodkowymi okręgami o promieniach $r_1$ i $r_2$, takich, że $r_2 = 4r_1$ - przewodnik $\mathcal{P}$ jest bardzo długi - $\vec{B}_1$ jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie $P_1$ - pomijamy inne źródła pola magnetycznego - długość boku kratki umieszczonej przy punktach $P_1$ i $P_2$ odpowiada umownej jednostce wartości wektora indukcji magnetycznej. **Zadanie 8. (0–3)** Na rysunku oznacz, w którą stronę płynie prąd w przewodniku $\mathcal{P}$. Wpisz odpowiedni symbol ($\odot$ lub $\otimes$) przy literze $\mathcal{P}$, gdzie $\odot$ oznacza, że prąd płynie przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego), a $\otimes$ – że prąd płynie za płaszczyznę rysunku. Narysuj wektor indukcji magnetycznej $\vec{B}_2$ w punkcie $P_2$. Zachowaj odpowiedni kierunek, właściwy zwrot oraz długość wektora, odpowiadającą jego wartości.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „termodynamika, I zasada termodynamiki, cykl silnika cieplnego, gaz doskonały” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl