MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 3 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 6

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

III.4 — pole elektrostatyczne. Natężenie pola od ładunku punktowego, superpozycja pól, kierunek wektora $E$ .

Treść zadania

Zadanie 6. (0–3)

W trzech wierzchołkach kwadratu o boku $a$ umieszczono trzy nieruchome ładunki punktowe: $Q_{1} = - 2 q$ , $Q_{2} = - q$ , $Q_{3} = - 2 q$ (gdzie $q > 0$ ). Ładunek $Q_{1}$ znajduje się w jednym wierzchołku, $Q_{2}$ w przeciwległym, a $Q_{3}$ w jednym z dwóch pozostałych wierzchołków (zobacz rysunek). Czwarty wierzchołek jest pusty.

Na rysunku narysuj wektor natężenia pola elektrycznego $E_{S}$ w punkcie $S$ — przecięciu przekątnych kwadratu — pochodzący od wszystkich trzech ładunków. Zapisz wzór wyrażający wartość natężenia pola elektrycznego $E_{S}$ w punkcie $S$ w zależności od $a$ , $q$ oraz stałej elektrycznej $k$ .

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Odległość każdego z wierzchołków od $S$ (przecięcia przekątnych): $r = \frac{a 2}{2}$ .

Natężenie pola od pojedynczego ładunku $∣ Q ∣$ w odległości $r$ :

$E = \frac{k ∣ Q ∣}{r ^{2}} = \frac{k ∣ Q ∣}{( a 2 /2 ) ^{2}} = \frac{2 k ∣ Q ∣}{a ^{2}}$

Kierunek wektorów (od ładunku ujemnego — pole skierowane w stronę ładunku):

od $Q_{1} = - 2 q$ (przeciwległy do pustego rogu): $E_{1}$ wzdłuż przekątnej, w stronę $Q_{1}$ . Wartość: $E_{1} = \frac{2 k \cdot 2 q}{a ^{2}} = \frac{4 k q}{a ^{2}}$ .
od $Q_{2} = - q$ (drugi koniec przekątnej, przeciwległy do pierwszego): $E_{2}$ wzdłuż tej samej przekątnej, ale w PRZECIWNĄ stronę. $E_{2} = \frac{2 k q}{a ^{2}}$ .
od $Q_{3} = - 2 q$ (na drugiej przekątnej, przy boku z $Q_{1}$ ): $E_{3}$ wzdłuż drugiej przekątnej, w stronę $Q_{3}$ . $E_{3} = \frac{4 k q}{a ^{2}}$ .

Składanie wektorów:

$E_{1}$ i $E_{2}$ leżą na jednej przekątnej (przeciwne zwroty): wypadkowa na tej osi = $∣ E_{1} - E_{2} ∣ = \frac{4 k q - 2 k q}{a ^{2}} = \frac{2 k q}{a ^{2}}$ , w stronę $Q_{1}$ (większy ładunek).
$E_{3}$ na drugiej przekątnej (oś prostopadła): wartość $\frac{4 k q}{a ^{2}}$ .

Wektor wypadkowy jest sumą dwóch prostopadłych:

$E_{S} = (\frac{2 k q}{a ^{2}})^{2} + (\frac{4 k q}{a ^{2}})^{2} = \frac{k q}{a ^{2}} 4 + 16 = \frac{k q}{a ^{2}} 20 = \frac{2 5 k q}{a ^{2}}$

$E_{S} = \frac{2 5 k q}{a ^{2}} \approx \frac{4 , 47 k q}{a ^{2}}$

Wektor $E_{S}$ leży w płaszczyźnie kwadratu, ma składowe wzdłuż obu przekątnych: jest skierowany w stronę pustego rogu od $S$ od strony $Q_{3}$ (czyli "do" $Q_{3}$ wzdłuż jednej osi i "do" $Q_{1}$ wzdłuż drugiej).

Typowy błąd / pułapka

Pułapka — zła odległość od środka kwadratu. Środek kwadratu jest w $r = a 2 /2$ od każdego wierzchołka, NIE $a /2$ (to jest połowa boku, nie połowa przekątnej).

Pułapka — pomylenie znaku/kierunku pola ładunku ujemnego. Pole od ładunku ujemnego wskazuje DO tego ładunku (linie pola wchodzą w ładunek). Pole od dodatniego wskazuje OD ładunku.

Pułapka — dodawanie wartości zamiast wektorów. $E_{1}$ i $E_{2}$ są na jednej osi, ale przeciwnych zwrotów → odejmujemy. $E_{3}$ na drugiej osi → dodajemy wektorowo (Pitagoras).

Pułapka — nie dostrzeżenie symetrii. Gdyby $Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = - q$ , wypadkowa byłaby tylko od $Q_{3}$ (po dwóch przekątnych dwa równe się znoszą). Tu różne wartości — symetria złamana, ale logika "wektory na jednej przekątnej się częściowo znoszą" zostaje.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 6 - trzy ładunki w wierzchołkach kwadratu — Strona 17 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 6 (kwadrat, Q1=-2q, Q2=-q, Q3=-2q, pole w środku). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 17

Klucz — superpozycja pól elektrycznych

Natężenie pola od ładunku punktowego: $E = k ∣ Q ∣/ r^{2}$ . Kierunek: od $+$ (na zewnątrz), do $-$ (do środka ładunku).

Superpozycja: pole wypadkowe w punkcie = SUMA WEKTOROWA pól od każdego ładunku. Nigdy skalarna.

Geometria kwadratu: środek kwadratu jest w $a 2 /2$ od każdego wierzchołka. Każda przekątna ma długość $a 2$ .

Po co to umieć

Superpozycja pól elektrycznych = baza całej elektrostatyki: budowanie modelu dipola elektrycznego (atom, cząsteczka wody — silnie polarna), pole wewnątrz przewodników (Ezewnątrz = 0, klatka Faradaya — czemu w windzie nie ma sygnału), pole w kondensatorze płaskim (jednorodne między okładkami). Pomysł “sumuj wektorowo” przenosi się 1:1 na grawitację i magnetyzm.

Podobne zadania

termodynamika, cykl gazu doskonałego, przemiany, I zasada termodynamiki

Zadanie 6 (8 pkt)

maj 2025 • PR

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \to B \to C \to A$ ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że: - ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V = \tfrac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową - temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są — odpowiednio — równe $T_1$, $p_1$ i $V_1$ - stany gazu $A$, $B$, $C$, $X$ znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu - liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$. Z wykresu odczytujemy: $A = (T_1; p_1)$, $B = (3T_1; 3p_1)$, $C = (3T_1; p_1)$, $X = (3T_1; 2p_1)$ (punkt pomocniczy między B i C). **Zadanie 6.1. (0–2)** Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. W przemianie $A \to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła. 2. W przemianie $C \to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia. 3. Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B \to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie. **Zadanie 6.2. (0–4)** Wyznacz objętości gazu w stanach $B$, $C$ oraz $X$ w zależności od $V_1$. Narysuj wykres zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ dla cyklu $A \to B \to C \to A$. **Zadanie 6.3. (0–2)** Wyznacz ciepło $Q_{odd}$ oddane przez gaz w przemianie $C \to A$. Wynik zapisz w zależności od $T_1$, $n$ i $R$.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „elektrostatyka, pole elektryczne, superpozycja, ładunki punktowe" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl