MFAP-R0-100-2505 • Otwarte rozszerzone • 8 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 6

Matura z fizyki, maj 2025, poziom rozszerzony

Wymaganie:

6.1: I.7, VI.8, VI.10, VI.11 — I zasada termodynamiki, rodzaje przemian, energia wewnętrzna gazu doskonałego, wykresy przemian. 6.2: I.6, I.7, VI.8, VI.11, VI.12 — wykresy przemian, równanie Clapeyrona. 6.3: VI.8, VI.11, VI.13, VI.14 — ciepło molowe przy stałym ciśnieniu i stałej objętości, przepływ energii w silnikach cieplnych.

Treść zadania

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \to B \to C \to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij, że:

ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , gdzie $R$ jest stałą gazową
temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są — odpowiednio — równe $T_{1}$ , $p_{1}$ i $V_{1}$
stany gazu $A$ , $B$ , $C$ , $X$ znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$ .

Odczyt z wykresu 1. w arkuszu (współrzędne $(T; p)$ ): $A = (T_{1}; p_{1})$ , $B = (3 T_{1}; 3 p_{1})$ , $C = (3 T_{1}; p_{1})$ , $X = (3 T_{1}; 2 p_{1})$ (stan pośredni w przemianie $B \to C$ ).

Zadanie 6.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W przemianie $A \to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła.
W przemianie $C \to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia.
Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B \to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie.

Zadanie 6.2. (0–4) Wyznacz $V_{B}$ , $V_{C}$ oraz $V_{X}$ – objętości gazu w stanach $B$ , $C$ oraz $X$ – w zależności tylko od $V_{1}$ . Zapisz odpowiednie równania oraz podaj wzory na $V_{B}$ , $V_{C}$ i $V_{X}$ . Na wykresie 2. narysuj zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w opisanym cyklu przemian $A \to B \to C \to A$ . Oznacz stany gazu $A$ , $B$ , $C$ oraz $X$ .

Zadanie 6.3. (0–2) Ciepło oddane przez gaz do chłodnicy w jednym cyklu $A \to B \to C \to A$ oznaczymy jako $Q_{o dd}$ . Wyznacz $Q_{o dd}$ w zależności tylko od $T_{1}$ oraz od liczby moli gazu $n$ , oraz od stałej gazowej $R$ . Zapisz odpowiednie zależności oraz podaj postać wzoru na $Q_{o dd}$ .

Wykres 1.: zależność ciśnienia p od temperatury T w cyklu przemian A → B → C → A gazu doskonałego, ze stanem pośrednim X, na siatce z wartościami T₁–3T₁ i p₁–4p₁. — Wykres 1. Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 14

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

6.1. 1. P, 2. F, 3. P.

(1) P — punkty $A$ i $B$ leżą na prostej przechodzącej przez początek układu $p (T)$ , więc
$p / T = const$ i $A \to B$ jest izochorą. Temperatura rośnie, więc energia wewnętrzna
$U = n C_{V} T$ wzrasta.
(2) F — w $C \to A$ temperatura maleje ( $3 T_{1} \to T_{1}$ ), gaz oddaje ciepło.
(3) P — $B \to C$ jest izotermą (stała $T$ , malejące $p$ ), więc $Δ U = 0$ i z I zasady
termodynamiki $Q = W$ , więc $∣ W ∣ = ∣ Q ∣$ .

6.2. Z równania stanu gazu $p V = n RT$ przy ustalonej $n$ :

W $A$ : $p_{1} V_{1} = n R T_{1}$
W $B$ : $3 p_{1} \cdot V_{B} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{B} = V_{1}$ (izochora $A \to B$ )
W $C$ : $p_{1} \cdot V_{C} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{C} = 3 V_{1}$ (izobara $C \to A$ )
W $X$ : $2 p_{1} \cdot V_{X} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{X} = \frac{3}{2} V_{1} = 1, 5 V_{1}$

Wykres $p (V)$ : $A (V_{1}; p_{1}) \to B (V_{1}; 3 p_{1})$ — pionowa (izochora), $B (V_{1}; 3 p_{1}) \to C (3 V_{1}; p_{1})$
— krzywa izotermiczna (hiperbola), $C (3 V_{1}; p_{1}) \to A (V_{1}; p_{1})$ — pozioma (izobara).

6.3. W przemianie $A \to B$ (izochoryczne ogrzewanie) i $B \to C$ (izotermiczne rozprężanie)
gaz pobiera ciepło, więc oddaje je tylko w przemianie $C \to A$ (izobaryczne sprężanie):
$Q_{o dd} = Q_{C A}$ . Z $C_{p} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R$ :
$Q_{C A} = n C_{p} Δ T = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot (T_{1} - 3 T_{1}) = - 5 n R T_{1}$

Wartość bezwzględna: $∣ Q_{o dd} ∣ = 5 n R T_{1}$ .

Typowy błąd / pułapka

Błędy, na które warto uważać: pomylenie izochory z izobarą na wykresie $p (T)$ (izochora to prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych $p (T)$ ), użycie $C_{V}$ zamiast $C_{p}$ w przemianie izobarycznej, zły znak przy $Q_{o dd}$ . Przy $C_{V} = \frac{3}{2} R$ mamy $C_{p} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R$ . Na wykresie $p (V)$ przemianę $B \to C$ rysujemy jako łuk (izotermę) przechodzący przez $X$ , a nie jako łamaną z odcinków $BX$ i $XC$ .

Zadanie 6 z arkusza maturalnego CKE 2025 maj PR fizyka — cykl gazu doskonałego — Zadanie 6 — arkusz maturalny CKE, maj 2025, fizyka, poziom rozszerzony Na podstawie: CKE 2025 Oryginalny PDF CKE, str. 14

Rozwiązanie krok po kroku

6.1 — analiza P/F

Klucz: identyfikacja każdej przemiany jako izochory, izobary lub izotermy.

6.2 — równanie stanu

Z $p V = n RT$ wyznaczamy objętości po kolei, korzystając z $p_{1} V_{1} = n R T_{1}$ jako odniesienia.

6.3 — ciepło w izobarze

W $C \to A$ ciśnienie stałe — używamy $Q = n C_{p} Δ T$ , $C_{p} = \frac{5}{2} R$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „termodynamika, cykl gazu doskonałego, przemiany, I zasada termodynamiki” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl