MFAP-R0-100-2505 • Otwarte rozszerzone • 6 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 5

Matura z fizyki, maj 2025, poziom rozszerzony

Wymaganie:

5.1: I.7, II.13, IV.1, IV.3, IV.5 — prawo powszechnego ciążenia, ruch planet po orbitach eliptycznych, III prawo Keplera. 5.2: I.7, III.6, III.7, IV.6 — moment pędu, zasada zachowania momentu pędu, II prawo Keplera. 5.3: I.2, I.7, IV.5 — III prawo Keplera dla orbit kołowych i eliptycznych.

Treść zadania

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową. Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_{P} = 8, 5 au$
największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_{A} = 18, 9 au$
odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_{Z} = 1, 0 au$
okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_{Z} = 1, 00$ rok ziemski.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi.

Zadanie 5.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wektor przyśpieszenia Chirona jest zwrócony do środka Słońca.
Orbita Chirona ma punkt wspólny z orbitą Ziemi.
Okres obiegu Chirona dookoła Słońca jest mniejszy od okresu obiegu Ziemi dookoła Słońca.

Zadanie 5.2. (0–1) Wartość prędkości liniowej Chirona w położeniu najbliższym Słońca (punkt $P$ orbity) oznaczymy jako $v_{P}$ , a w położeniu najdalszym od Słońca (punkt $A$ orbity) – jako $v_{A}$ . Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Prawidłowy związek pomiędzy $v_{P}$ a $v_{A}$ to

A. $v_{P} = \frac{18 , 9}{8 , 5} v_{A}$ / B. $v_{P} = v_{A}$ / C. $v_{P} = \frac{8 , 5}{18 , 9} v_{A}$
ponieważ w ruchu Chirona wokół Słońca nie zmienia się jego 1. pęd. / 2. moment pędu. /
1. energia kinetyczna.

Zadanie 5.3. (0–3) Oblicz okres obiegu Chirona wokół Słońca. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w latach ziemskich.

Rysunek orbity eliptycznej Chirona wokół Słońca (z zachowaniem skali elipsy) z punktami P i A, odległościami r_P i r_A oraz długością półosi wielkiej a_C. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 12

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

5.1. 1. P, 2. F, 3. F.

(1) P — jedyną siłą działającą na Chirona jest siła grawitacji Słońca, skierowana do jego
środka.
(2) F — najmniejsza odległość Chirona od Słońca (8,5 au) jest większa od promienia orbity
Ziemi (1,0 au), więc orbity nie mają punktu wspólnego.
(3) F — półoś wielka orbity Chirona jest większa niż orbity Ziemi, więc z III prawa Keplera
jego okres obiegu jest dłuższy.

5.2. Odpowiedź: A2. Z zasady zachowania momentu pędu (w punktach $P$ i $A$ prędkość jest
prostopadła do promienia wodzącego): $m v_{P} r_{P} = m v_{A} r_{A}$ , więc
$v_{P} = \frac{r _{A}}{r _{P}} v_{A} = \frac{18 , 9}{8 , 5} v_{A}$ .

5.3. Półoś wielka orbity Chirona:
$a_{C} = \frac{r _{P} + r _{A}}{2} = \frac{8 , 5 au + 18 , 9 au}{2} = 13, 7 au$

Z III prawa Keplera dla Chirona i Ziemi: $\frac{T _{C}^{2}}{a _{C}^{3}} = \frac{T _{Z}^{2}}{a _{Z}^{3}}$ , więc
$T_{C} = (\frac{a _{C}}{a _{Z}})^{3} \cdot T_{Z} = 13, 7^{3} \cdot 1 rok \approx 51 lat ziemskich$

Typowy błąd / pułapka

Błędy, na które warto uważać: użycie odległości największej lub najmniejszej jako półosi wielkiej (zamiast połowy ich sumy), wybór zasady zachowania pędu albo energii kinetycznej zamiast momentu pędu w 5.2, pomylenie jednostek w III prawie Keplera.

Zadanie 5 z arkusza maturalnego CKE 2025 maj PR fizyka — planetoida Chiron, prawa Keplera — Zadanie 5 — arkusz maturalny CKE, maj 2025, fizyka, poziom rozszerzony Na podstawie: CKE 2025 Oryginalny PDF CKE, str. 12

Rozwiązanie krok po kroku

5.1 — kierunek przyspieszenia i okres

Grawitacja zawsze skierowana do Słońca; półoś większa → okres dłuższy.

5.2 — zasada zachowania momentu pędu

Stosujemy $L = m v r$ (prędkość prostopadła do promienia w peryhelium i aphelium).

5.3 — III prawo Keplera

Gdy okres wyrażamy w latach ziemskich, a półoś wielką w au (porównanie z orbitą Ziemi), wzór sprowadza się do $T^{2} = a^{3}$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „grawitacja, ruch po orbicie eliptycznej, prawa Keplera” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl