Zadanie 5 — rozwiązanie, matura fizyki maj 2025, PR

Treść zadania

Planetoida Chiron krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej. Odległość peryhelium (najbliższego punktu od Słońca) wynosi $r_{P} = 8, 5 au$ , a odległość aphelium — $r_{A} = 18, 9 au$ (gdzie 1 au to średnia odległość Ziemi od Słońca).

Zadanie 5.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. (Wektor przyspieszenia Chirona, możliwe punkty wspólne orbity z orbitą Ziemi, porównanie okresu obiegu Chirona z okresem ziemskim.)

Zadanie 5.2. (0–1) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3. (Porównanie wartości prędkości w peryhelium i aphelium oraz zachowanie momentu pędu lub energii mechanicznej.)

Zadanie 5.3. (0–3) Oblicz okres obiegu planetoidy Chiron wokół Słońca. Wynik podaj w latach ziemskich. Skorzystaj z III prawa Keplera.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

5.1. Wektor przyspieszenia w każdym punkcie orbity skierowany jest do Słońca (siła grawitacji).
Okres obiegu Chirona jest większy od ziemskiego (większa półoś wielka).

5.2. Z zasady zachowania momentu pędu: $m v_{P} r_{P} = m v_{A} r_{A}$ , więc
$\frac{v _{P}}{v _{A}} = \frac{r _{A}}{r _{P}} = \frac{18 , 9}{8 , 5} \approx 2, 22$ .

5.3. Półoś wielka orbity Chirona:
$a = \frac{r _{P} + r _{A}}{2} = \frac{8 , 5 + 18 , 9}{2} = 13, 7 au$

Z III prawa Keplera ( $T^{2} = a^{3}$ w jednostkach lat i au):
$T = a^{3/2} = 13, 7^{1, 5} \approx 50, 7 lat ziemskich$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstsze błędy: użycie odległości aphelium lub peryhelium jako półosi (zamiast średniej), pomylenie zasady zachowania momentu pędu z zachowaniem energii (różne równania), pomylenie jednostek w III prawie Keplera ( $T$ w sekundach zamiast latach).

Zadanie 5 z arkusza maturalnego CKE 2025 maj PR fizyka — planetoida Chiron, prawa Keplera — Zadanie 5 — arkusz maturalny CKE, maj 2025, fizyka, poziom rozszerzony Na podstawie: CKE 2025 Oryginalny PDF CKE, str. 11

Rozwiązanie krok po kroku

5.1 — kierunek przyspieszenia i okres

Grawitacja zawsze skierowana do Słońca; półoś większa → okres dłuższy.

5.2 — zasada zachowania momentu pędu

Stosujemy $L = m v r$ (prędkość prostopadła do promienia w peryhelium i aphelium).

5.3 — III prawo Keplera

W układzie jednostek “lata, au, masa Słońca” wzór sprowadza się do $T^{2} = a^{3}$ .