MFAP-R0-100-2505 • Otwarte rozszerzone • 6 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 2

Matura z fizyki, maj 2025, poziom rozszerzony

Wymaganie:

2.1: III.2, III.4, III.5, II.20 — ruch obrotowy bryły sztywnej, moment bezwładności, energia ruchu postępowego i obrotowego, zasada zachowania energii mechanicznej. 2.2: II.12, II.13, II.23, III.2, III.4 (albo II.20, III.5) — zasady dynamiki, ruch na równi pochyłej, dynamika ruchu obrotowego.

Treść zadania

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie. Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $β$ .

Przyjmij następujące dane:

promienie walców są sobie równe: $R_{1} = R_{2} = R$
masy walców są sobie równe: $m_{1} = m_{2} = m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami: $I_{1} = k_{1} m R^{2}$ oraz $I_{2} = k_{2} m R^{2}$ , gdzie $k_{1}$ i $k_{2}$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_{1} \neq = k_{2}$ .

Uwzględnij następujące założenia i warunki:

siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Zadanie 2.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

$k_{2} > k_{1}$
U podnóża równi całkowite energie kinetyczne walców W1 i W2 są sobie równe.
U podnóża równi wartość prędkości ruchu postępowego walca W1 jest mniejsza od wartości prędkości ruchu postępowego walca W2.

Zadanie 2.2. (0–4) Wyznacz $a$ – wartość przyśpieszenia liniowego walca W2 – w zależności tylko od wartości przyśpieszenia ziemskiego $g$ , od kąta $β$ oraz od współczynnika $k_{2}$ . Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na $a$ .

Rysunek w widoku z boku: pełny walec W1 i częściowo wydrążony walec W2 o promieniu R na szczytach dwóch jednakowych równi pochyłych o kącie nachylenia β. — Na podstawie: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 6

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

2.1. 1. P, 2. P, 3. F.

(1) Oba walce mają tę samą masę i promień, ale W2 jest wydrążony, więc jego masa jest rozłożona
dalej od osi — ma większy moment bezwładności: $k_{2} > k_{1}$ .

(2) Walce startują z tej samej wysokości bez prędkości początkowej, a tarcie statyczne przy
toczeniu bez poślizgu nie wykonuje pracy, więc u podnóża całkowite energie kinetyczne są równe
( $m g h = E_{k}$ ).

(3) Walec o większym współczynniku $k$ ma większą część energii w ruchu obrotowym, więc
mniejszą prędkość ruchu postępowego ( $v^{2} = \frac{2 g h}{1 + k}$ ). Większą prędkość ma więc W1
(mniejsze $k$ ), a stwierdzenie jest fałszywe.

2.2. Z II zasady dynamiki ruchu postępowego i obrotowego:

$ma = m g sin β - T, I_{2} ε = TR$

Warunek toczenia bez poślizgu: $a = εR$ , a $I_{2} = k_{2} m R^{2}$ , więc $T = k_{2} ma$ .
Siła tarcia statycznego pozostaje niewiadomą (nie osiągnęła wartości maksymalnej). Podstawiając:

$a = \frac{g sin β}{1 + k _{2}}$

Typowy błąd / pułapka

Błędy, na które warto uważać: pominięcie momentu bezwładności (traktowanie walca jak klocka), użycie wzoru $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ zamiast podanego $k_{2} m R^{2}$ , zła interpretacja warunku toczenia bez poślizgu ( $v = ω R$ , $a = εR$ ), nieprawidłowy znak siły tarcia, zapisanie $T = μ m g cos β$ — według treści tarcie statyczne nie osiągnęło wartości maksymalnej.

Zadanie 2 z arkusza maturalnego CKE 2025 maj PR fizyka — walce na równi pochyłej — Zadanie 2 — arkusz maturalny CKE, maj 2025, fizyka, poziom rozszerzony Na podstawie: CKE 2025 Oryginalny PDF CKE, str. 6

Rozwiązanie krok po kroku

2.1 — porównanie walców

Walec o większym współczynniku $k$ ma większy ułamek energii w ruchu obrotowym, mniej w postępowym.

2.2 — równania ruchu

Stosujemy układ równań Newtona dla translacji i rotacji + warunek toczenia bez poślizgu. Wynik: $a = \frac{g sin β}{1 + k _{2}}$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dynamika bryły sztywnej, ruch po równi pochyłej, moment bezwładności” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl