Zadanie 5

grawitacja, ruch orbitalny, III prawo Keplera, prawo powszechnego ciążenia, orbita eliptyczna, czarna dziura supermasywna, Sagittarius A

Zadanie 5 (7 pkt)

maj 2023 • PR

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące: - okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S2} = 16$ lat ziemskich - najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_P = 120\ \text{au}$ - największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_A = 1820\ \text{au}$. Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie. ### Zadanie 5.1. (0–1) Na rysunku 2. narysuj wektor przyśpieszenia $\vec{a}$ środka gwiazdy S2 w oznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora (długość może być dowolna). ### Zadanie 5.2. (0–1) Wartość prędkości środka S2 w **punkcie $P$** orbity (rysunek 1. na stronie 12) oznaczymy jako $v_P$, a wartość prędkości środka S2 w **punkcie $A$** orbity oznaczymy jako $v_A$. Prędkość środka S2 w punkcie $P$ lub w punkcie $A$ jest prostopadła do promienia wodzącego (odcinka łączącego środki S2 i Sgr A*). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz $\dfrac{v_P}{v_A}$ jest równy (w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących): **A.** $\dfrac{v_P}{v_A} \approx 0{,}00435$ **B.** $\dfrac{v_P}{v_A} \approx 0{,}0659$ **C.** $\dfrac{v_P}{v_A} \approx 15{,}2$ **D.** $\dfrac{v_P}{v_A} \approx 230$ ### Informacja do zadań 5.3.–5.4. Załóżmy, że ciało $\mathcal{C}_1$ krąży po orbicie $\mathcal{O}_1$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_1$, a ciało $\mathcal{C}_2$ krąży po orbicie $\mathcal{O}_2$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_2$. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_1$ i $M_2$ można obliczyć ze wzoru: $$\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$$ gdzie: $T_1$ i $T_2$ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$, natomiast $a_1$ i $a_2$ zależą od rodzaju orbity: - gdy orbity $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ są kołowe, to $a_1$ i $a_2$ są odpowiednio promieniami tych orbit - gdy orbita $\mathcal{O}_1$ jest eliptyczna, a orbita $\mathcal{O}_2$ jest kołowa, to $a_1$ jest długością półosi wielkiej orbity $\mathcal{O}_1$, natomiast $a_2$ jest promieniem orbity $\mathcal{O}_2$. ### Zadanie 5.3. (0–2) Masę obiektu Sgr A* oznaczymy jako $M_{SA}$, a masę Słońca oznaczymy jako $M_S$. Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_Z = 1{,}0\ \text{au}$ z okresem obiegu $T_Z = 1{,}0\ \text{rok}$. Długość **półosi wielkiej** orbity gwiazdy S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1. (strona 12), jest równa $\frac{|PA|}{2}$. Oblicz iloraz $\dfrac{M_{SA}}{M_S}$. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. ### Zadanie 5.4. (0–3) Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3.–5.4. w przypadku, gdy orbity $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ są kołowe.