MFIP-R0-100-2405 • Otwarte krótkie • 5 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 9

Matura z fizyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

V.2 — optyka geometryczna. Cienkie soczewki, ogniskowa, układy soczewek (teleskop). Powiększenie kątowe.

Treść zadania

Zadanie 9.

W układzie optycznym ustawiono dwie cienkie soczewki skupiające ze wspólną osią optyczną: soczewka $S_{1}$ o ogniskowej $f_{1} = 15 cm$ i soczewka $S_{2}$ o ogniskowej $f_{2} = 20 cm$ . Soczewki są ustawione tak, że ognisko $F$ leży między nimi i jest WSPÓLNYM ogniskiem obu soczewek (ognisko obrazowe $S_{1}$ pokrywa się z ogniskiem przedmiotowym $S_{2}$ ). Z lewej strony pada wiązka światła równoległa do osi optycznej, o szerokości $d_{1} = 2, 25 mm$ .

Zadanie 9.1. (0–3)

Oblicz szerokość $d_{2}$ wiązki światła wychodzącej z układu (po drugiej stronie $S_{2}$ ). Zapisz obliczenia.

Zadanie 9.2. (0–2)

Do układu dodano kolejne dwie soczewki w tej samej osi optycznej:

soczewka $R$ — rozpraszająca, ogniskowa $f_{R} = - 15 cm$ ,
soczewka $S$ — skupiająca, ogniskowa $f_{S} = 40 cm$ .

Określ ustawienie soczewek $R$ i $S$ w nowym układzie tak, aby wiązka równoległa wychodząca z $S_{2}$ pozostała równoległa po przejściu przez dodane soczewki, a układ działał jako kolejny "teleskop" wewnątrz teleskopu.

Źródło: arkusz CKE MFIP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

9.1. Układ to klasyczny teleskop Keplera (lub odwrócony lornetkowy): dwie soczewki ustawione tak, że ich ogniska się pokrywają w punkcie $F$ . Wiązka równoległa wchodzi → skupia się w $F$ → wychodzi znów jako równoległa, ale o innej szerokości.

Geometria — promień skrajny biegnie z $S_{1}$ pod kątem $α_{1}$ do osi:
$tan α_{1} = \frac{d _{1} /2}{f _{1}} = \frac{1 , 125 mm}{150 mm} = 0, 0075$

Po przejściu przez $F$ promień rozszerza się i pada na $S_{2}$ w wysokości $h_{2} = f_{2} tan α_{1}$ :
$h_{2} = 200 \cdot 0, 0075 = 1, 5 mm$

Stąd szerokość wiązki za $S_{2}$ :
$d_{2} = 2 h_{2} = 3, 0 mm$

Równoważnie — z proporcji powiększenia kątowego teleskopu:
$\frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{f _{2}}{f _{1}} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$
$d_{2} = 2, 25 \cdot \frac{4}{3} = 3, 0 mm$

$d_{2} = 3, 0 mm$

9.2. Aby wiązka równoległa pozostała równoległa po przejściu przez kolejną parę soczewek, ogniska soczewek $R$ i $S$ muszą się pokrywać.

Soczewka $R$ jest rozpraszająca ( $f_{R} = - 15$ cm). Ognisko obrazowe leży przed soczewką (po stronie wiązki padającej).
Soczewka $S$ jest skupiająca ( $f_{S} = 40$ cm). Ognisko przedmiotowe leży przed soczewką.

Aby ogniska się pokryły: $R$ i $S$ muszą być umieszczone tak, by ognisko obrazowe $R$ (= 15 cm PRZED $R$ ) pokrywało się z ogniskiem przedmiotowym $S$ (= 40 cm przed $S$ ). Stąd:

$d_{RS} = f_{S} - ∣ f_{R} ∣ = 40 - 15 = 25 cm$

Czyli $R$ należy ustawić 25 cm przed $S$ (między $S_{2}$ a $S$ ), w takiej odległości, że soczewka $S$ leży 40 cm za ogniskiem wspólnym, a soczewka $R$ — 15 cm za tym ogniskiem (po stronie $S$ ).

Powiększenie kątowe drugiej pary: $\frac{d _{3}}{d _{2}} = \frac{∣ f _{S} ∣}{∣ f _{R} ∣} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$ .

Wiązka wychodząca z układu $R + S$ ma szerokość $d_{3} = d_{2} \cdot \frac{8}{3} = 3, 0 \cdot \frac{8}{3} = 8 mm$ .

Typowy błąd / pułapka

Pułapka 9.1 — zastosowanie równania soczewki $1/ x + 1/ y = 1/ f$ dla wiązki równoległej. NIE: wiązka równoległa = "przedmiot w nieskończoności" → obraz w ognisku ( $y = f$ ). Ponieważ tu jest UKŁAD dwóch soczewek z pokrywającymi się ogniskami, wystarcza geometria.

Pułapka 9.1 — pomylenie powiększenia liniowego z kątowym. Tu liczy się szerokość wiązki, która zachowuje się jak rozmiar liniowy obrazu (powiększenie = $f_{2} / f_{1}$ dla teleskopu odwróconego: wiązka się POSZERZA, NIE zwęża).

Pułapka 9.2 — pomylenie znaków $f$ dla soczewki rozpraszającej. $f_{R} = - 15$ cm: ognisko jest "pozorne", leży po stronie przedmiotu. Geometryczna odległość między soczewkami w "teleskopie" z jedną rozpraszającą i jedną skupiającą: $∣ f_{S} ∣ - ∣ f_{R} ∣$ (RÓŻNICA, nie suma — jak w lornetce Galileusza).

Pułapka 9.2 — założenie że soczewka rozpraszająca "psuje" wiązkę. W odpowiednim układzie ją rozszerza, ale ZACHOWUJE równoległość (tak działa lornetka Galileusza, popularne teleobiektywy).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 9 - układ dwóch soczewek (teleskop) — Strona 22-23 arkusza CKE 2024 PR fizyka - zadanie 9 (S1 f1=15cm, S2 f2=20cm, wiązka 2,25 mm; dodawanie R i S). Na podstawie: CKE 2024 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Klucz — teleskop dwusoczewkowy

Teleskop Keplera (dwie skupiające, ogniska się pokrywają): wiązka równoległa → wiązka równoległa, powiększenie kątowe $Γ = f_{2} / f_{1}$ . Daje obraz odwrócony.

Teleskop Galileusza (skupiająca + rozpraszająca, $∣ f_{S} ∣ > ∣ f_{R} ∣$ ): krótszy układ, $d = f_{S} - ∣ f_{R} ∣$ . Obraz prosty. Popularne w lornetkach teatralnych.

Zachowanie równoległości: jeśli wiązka wchodzi równolegle do osi, wychodzi równolegle wtedy i tylko wtedy, gdy ognisko obrazowe pierwszej pokrywa się z ogniskiem przedmiotowym drugiej.

Po co to umieć

Teleskop Keplera/Galileusza = każdy teleskop astronomiczny, lornetka, mikroskop, lunety celownicze. Zasada: pierwsza soczewka (obiektyw) tworzy obraz przedmiotu odległego, druga (okular) działa jak lupa na ten obraz. Powiększenie kątowe = $f_{o bi e k t y w} / f_{o k u l a r}$ . Hubble Space Telescope: obiektyw 2.4 m, okular wymienny, powiększenie zależne od trybu obserwacji.

Podobne zadania

optyka geometryczna, prawo Snella, załamanie światła, odbicie wewnętrzne, prędkość światła w ośrodku, współczynnik załamania, krążek szklany

Zadanie 9 (6 pkt)

maj 2023 • PR

Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka w punkcie $A$. Kąt padania w punkcie $A$ jest równy $\alpha$, a kąt załamania tego promienia jest równy $\beta$. Część promienia, która wniknęła do szkła w punkcie $A$, pada dalej na brzeg krążka w punkcie $D$. Na rysunku 1. (poniżej) oraz na rysunku 2. (na stronie 23) przedstawiono bieg promienia tylko do punktu $D$, przy czym pominięto część promienia odbitą w punkcie $A$. Kreskami przerywanymi oznaczono odcinki pomocnicze. Punkt $O$ jest środkiem krążka. ### Zadanie 9.1. (0–3) Część promienia $AD$, która pada na brzeg krążka od strony szkła w punkcie $D$, odbija się z powrotem do szkła, a część tego promienia załamuje się i biegnie dalej w powietrzu. Kąty: padania, załamania i odbicia promienia $AD$ w punkcie $D$, oznaczamy – odpowiednio – jako: $\gamma_{\text{pad}}, \gamma_{\text{zał}}, \gamma_{\text{odb}}$. **Narysuj na rysunku 1. dalszy bieg promienia załamanego i odbitego w punkcie $D$. Oznacz łukami i podpisz w odpowiednich miejscach kąty: $\gamma_{\text{pad}}, \gamma_{\text{odb}}, \gamma_{\text{zał}}$, a następnie określ relację między miarami odpowiednich kątów – wpisz w każde wykropkowane miejsce odpowiedni znak wybrany spośród:** $>, =, <$. $\gamma_{\text{pad}}\ \ldots\ \gamma_{\text{odb}}$ $\gamma_{\text{pad}}\ \ldots\ \gamma_{\text{zał}}$ $\gamma_{\text{zał}}\ \ldots\ \alpha$ ### Zadanie 9.2. (0–3) Na rysunku 2. odcinek $AC$ jest geometrycznym przedłużeniem promienia padającego na krążek. Długości odcinków oznaczonych na rysunku 2. wynoszą (w zaokrągleniu): $|AB| \approx 9{,}0\ \text{cm}$, $|AC| \approx 4{,}5\ \text{cm}$, $|AD| \approx 7{,}7\ \text{cm}$, $|BC| \approx 7{,}8\ \text{cm}$, $|BD| \approx 4{,}8\ \text{cm}$. Przyjmij, że wartość prędkości światła w próżni jest równa wartości prędkości światła w powietrzu. Oblicz wartość prędkości światła w szkle, z którego jest wykonany krążek. Zapisz obliczenia. Wykorzystaj niektóre z podanych długości odcinków. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „optyka, soczewki, równanie soczewki, ogniskowa, układ optyczny" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl