Zadanie 5 — rozwiązanie, matura informatyki maj 2026, PR

Treść zadania

Wyrażenie zawierające liczby w systemach: piątkowym, dziesiętnym i trójkowym. W miejsce kropek wpisz odpowiednie liczby, tak aby obie równości były prawdziwe:

(1440)₅ + (………)₅ = (427)₁₀ = (………)₃ − (110002)₃

Źródło: arkusz CKE MINP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

(1440)₅ + (1212)₅ = (427)₁₀ = (1000220)₃ − (110002)₃

Pierwsza luka: (1212)₅

(1440)₅ = 1·125 + 4·25 + 4·5 + 0 = 125 + 100 + 20 = 245
427 − 245 = 182
182 = 1·125 + 2·25 + 1·5 + 2 → (1212)₅

Druga luka: (1000220)₃

(110002)₃ = 1·243 + 1·81 + 2 = 326
427 + 326 = 753
753 = 1·729 + 2·9 + 2·3 → (1000220)₃

Typowy błąd / pułapka

Kierunek działania w drugiej równości jest odwrotny, niż podpowiada odruch. Skoro 427 = X − (110002)₃, to X = 427 + 326, a nie 427 − 326. Odjęcie zamiast dodania daje (101)₁₀ i zły wynik — to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

Nie licz w obcym systemie. Najbezpieczniej przejść przez dziesiętny: zamień wszystko na dziesiętny, wykonaj działanie, zamień wynik z powrotem. Dodawanie pisemne w systemie piątkowym działa, ale przy przeniesieniach łatwo się pomylić.

Sprawdź wynik przez podstawienie. Zamiana z powrotem zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje pomyłkę w potędze — a punkty są dwa, po jednym za każdą liczbę.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 5 — informatyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MINP-R0-100-A-2605 — zadanie 5. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, informatyka PR Oryginalny PDF CKE

Zamiana na system dziesiętny

Mnożymy cyfry przez kolejne potęgi podstawy, licząc od prawej (pozycja 0):

(1440)₅   = 1·5³ + 4·5² + 4·5¹ + 0·5⁰ = 125 + 100 + 20 + 0 = 245
(110002)₃ = 1·3⁵ + 1·3⁴ + 0 + 0 + 0 + 2·3⁰ = 243 + 81 + 2 = 326

Zamiana z systemu dziesiętnego

Dzielimy z resztą przez podstawę, reszty czytamy od końca:

182 : 5 = 36  r. 2
 36 : 5 =  7  r. 1
  7 : 5 =  1  r. 2
  1 : 5 =  0  r. 1     →  (1212)₅

Alternatywnie przez potęgi: 182 = 125 + 57 = 125 + 50 + 7 = 125 + 50 + 5 + 2 → 1·125, 2·25, 1·5, 2·1.

753 = 729 + 24 = 3⁶ + 2·3² + 2·3¹  →  1 0 0 0 2 2 0  =  (1000220)₃

Potęgi warte zapamiętania

	0	1	2	3	4	5	6
3ⁿ	1	3	9	27	81	243	729
5ⁿ	1	5	25	125	625	3125	—
2ⁿ	1	2	4	8	16	32	64

Punktacja CKE

2 pkt — obie liczby poprawne.
1 pkt — jedna liczba poprawna.
Razem: 2 pkt.