Zadanie 31 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Zadanie 31

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

31.1: V.2 — obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym; V.3 — interpretowanie wartości funkcji określonych wzorami. 31.2: XIII — rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Treść zadania

Zadanie 31.

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$ -tego dnia opisuje funkcja

$L (n) = - n^{2} + 22 n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \geq 1$ i $n \leq 30$ .

Zadanie 31.1. (0-1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P/F
Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa $L (30)$ .	P / F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono $336$ klientów.	P / F

Zadanie 31.2. (0-2)

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

31.1: F, P

31.2: najwięcej klientów obsłużono 11. dnia — $L (11) = 400$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd w 31.1: uznanie $L (30)$ za łączną liczbę klientów z 30 dni — $L (30)$ to liczba klientów obsłużonych trzydziestego dnia. W 31.2: według zasad oceniania CKE samo zapisanie $L (11) = 400$ bez rozwiązania daje 1 pkt z 2.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 31 - liczba klientów apteki, funkcja kwadratowa — Strona 27 arkusza CKE - zadanie 31. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 27

Co zrobić?

Funkcja $L (n) = - n^{2} + 22 n + 279$ podaje liczbę klientów obsłużonych $n$ -tego dnia ( $n = 1, 2, \dots, 30$ ).

31.1. Ocena stwierdzeń

Stwierdzenie 1. $L (30)$ to liczba klientów obsłużonych 30. dnia, a nie suma z wszystkich dni. Łączna liczba klientów to $L (1) + L (2) + \dots + L (30)$ . Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Liczba klientów trzeciego dnia:

$L (3) = - 3^{2} + 22 \cdot 3 + 279 = - 9 + 66 + 279 = 336$

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

31.2. Dzień z największą liczbą klientów

Wyznacz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli. $L$ to funkcja kwadratowa o współczynniku $a = - 1 < 0$ , więc ramiona paraboli są skierowane w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{22}{2 \cdot ( - 1 )} = 11$

Liczba $11$ jest naturalna i należy do dziedziny ( $1 \leq 11 \leq 30$ ).

Oblicz największą wartość:

$L (11) = - 121 + 242 + 279 = 400$

Postać kanoniczna potwierdza wynik: $L (n) = - (n - 11)^{2} + 400$ .

Odpowiedź: najwięcej klientów — $400$ — obsłużono 11. dnia.

Po co to umieć

W zadaniach optymalizacyjnych z funkcją kwadratową największa (dla $a < 0$ ) lub najmniejsza (dla $a > 0$ ) wartość jest w wierzchołku paraboli, o ile jego pierwsza współrzędna należy do dziedziny — dlatego warto to sprawdzić.