Zadanie 30 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 30. (0-2)

Ze zbioru ośmiu liczb ${2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$P (A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

$∣Ω∣ = 8 \cdot 8 = 64$ . Sprzyjające pary: $(3, 5)$ , $(5, 3)$ , $(6, 5)$ , $(5, 6)$ , $(5, 9)$ , $(9, 5)$ , czyli $∣ A ∣ = 6$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: pominięcie par w odwrotnej kolejności — losowanie jest kolejne i ze zwracaniem, więc $(3, 5)$ i $(5, 3)$ to dwa różne zdarzenia elementarne. Drugi błąd: dopisanie pary $(5, 5)$ — iloczyn $25$ nie dzieli się przez $3$ , więc nie dzieli się przez $15$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, iloczyn podzielny przez 15 — Strona 26 arkusza CKE - zadanie 30. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 26

Co zrobić?

Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru ${2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ . Szukamy prawdopodobieństwa, że iloczyn wylosowanych liczb dzieli się przez $15$ .

Policz wszystkie zdarzenia elementarne. Zdarzenie elementarne to para (pierwsza liczba, druga liczba). Każdą z dwóch liczb wybieramy na $8$ sposobów:

$∣Ω∣ = 8 \cdot 8 = 64$

Ustal warunek podzielności. $15 = 3 \cdot 5$ . Iloczyn dzieli się przez $15$ , gdy dzieli się przez $3$ i przez $5$ .

W zbiorze jedyną liczbą podzielną przez $5$ jest $5$ , więc jedna z wylosowanych liczb musi być równa $5$ . Druga musi wtedy być podzielna przez $3$ : $3$ , $6$ albo $9$ (para $(5, 5)$ daje $25$ — nie dzieli się przez $3$ ).

Wypisz zdarzenia sprzyjające:

$A = {(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (9, 5), (5, 9)}, ∣ A ∣ = 6$

Oblicz prawdopodobieństwo:

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

Po co to umieć

W modelu klasycznym $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ . Przy losowaniu kolejnym pary $(a, b)$ i $(b, a)$ są różnymi zdarzeniami elementarnymi, a przy losowaniu ze zwracaniem możliwe są pary z powtórzeniem, np. $(5, 5)$ .

Według zasad oceniania CKE za samo poprawne $∣Ω∣ = 64$ albo samo wypisanie wszystkich sześciu zdarzeń sprzyjających jest 1 pkt; pełne rozwiązanie z wynikiem $\frac{6}{64}$ daje 2 pkt.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji