Zadanie 16

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

VI.6 — wykorzystywanie własności ciągów, w tym geometrycznych, do rozwiązywania zadań.

Treść zadania

Zadanie 16. (0-1)

Trzywyrazowy ciąg $(27, 9, a - 1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

3

0

4

2

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: użycie własności ciągu arytmetycznego ( $a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2}$ ) zamiast geometrycznego ( $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ ). Drugi: wyznaczenie trzeciego wyrazu ( $3$ ) i podanie go jako $a$ — tymczasem trzeci wyraz to $a - 1$ , więc $a = 4$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 16 - trzywyrazowy ciąg geometryczny — Strona 15 arkusza CKE - zadanie 16. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 15

Co zrobić?

Mając $(27, 9, a - 1)$ jako ciąg geometryczny, znajdź $a$ .

Wykorzystaj własność ciągu geometrycznego. Stosunek kolejnych wyrazów (iloraz) jest stały:

$\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{a _{3}}{a _{2}}$

Podstaw wartości:

$\frac{9}{27} = \frac{a - 1}{9}$

$\frac{1}{3} = \frac{a - 1}{9}$

Rozwiąż: pomnóż obie strony przez $9$ :

$3 = a - 1$ $a = 4$

To odpowiedź C.

Sprawdź: Ciąg $(27, 9, 3)$ — iloraz $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ , kolejny: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . ✓

Po co to umieć

Trzywyrazowy ciąg geometryczny ma własność: $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych). Można jej użyć zamiast ilorazu — dla naszego ciągu $(27, 9, a - 1)$ :

$9^{2} = 27 \cdot (a - 1) ⟹ 81 = 27 a - 27 ⟹ a = 4 ✓$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciąg geometryczny, własności” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl