Zadanie 17 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 17. (0-2)

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Pierwsza rata: $750$ zł

Wzór: $S_{18} = \frac{18 ( a _{1} + a _{18} )}{2} = 8910$ , $a_{18} = a_{1} - 510$ → $18 a_{1} - 4590 = 8910$ → $a_{1} = 750$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: pomylenie $r = 30$ z $r = - 30$ . Skoro raty maleją, różnica jest ujemna. Zasady oceniania CKE: kto przyjmie $r = 30$ , obliczy $a_{1} = 240$ i nie zinterpretuje tej liczby jako ostatniej raty, dostaje najwyżej 1 pkt. Drugi błąd: użycie wzoru $a_{n} = a_{1} + n \cdot r$ zamiast $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ — w 18. wyrazie różnicę dodajemy 17 razy, nie 18.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 17 - pożyczka w ratach — Strona 16 arkusza CKE - zadanie 17 (ciąg arytmetyczny w kontekście). Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 16

Co zrobić?

Raty tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą $r = - 30$ (bo kolejna rata jest mniejsza). Suma 18 rat: $8910$ . Znajdź pierwszą ratę $a_{1}$ .

Zapisz wzór na ostatnią ratę. W ciągu arytmetycznym:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

Dla $n = 18$ , $r = - 30$ :

$a_{18} = a_{1} + 17 \cdot (- 30) = a_{1} - 510$

Zapisz wzór na sumę 18 wyrazów.

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$

Dla $n = 18$ :

$S_{18} = \frac{18 ( a _{1} + a _{18} )}{2} = 9 (a_{1} + a_{18})$

Podstaw $a_{18} = a_{1} - 510$ i $S_{18} = 8910$ :

$9 (a_{1} + a_{1} - 510) = 8910$ $9 (2 a_{1} - 510) = 8910$ $18 a_{1} - 4590 = 8910$ $18 a_{1} = 13500$ $a_{1} = 750$

Sprawdzenie: $a_{18} = 750 - 510 = 240$ . Suma: $\frac{18 \cdot ( 750 + 240 )}{2} = 9 \cdot 990 = 8910$ . ✓

Po co to umieć

Schemat zadań kontekstowych z ciągami: (1) zidentyfikuj typ ciągu, (2) zapisz dane jako $a_{1}$ , $r$ / $q$ , $n$ , $a_{n}$ , $S_{n}$ , (3) ułóż równanie z dwóch znanych wzorów. Według zasad oceniania CKE samo zapisanie wyniku $750$ zł bez obliczeń daje 1 pkt z 2.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciąg arytmetyczny, suma wyrazów, zadanie kontekstowe” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl