Zadanie 21 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 21. (0-1)

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Kąt $A CO$ ma miarę $70°$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $A BC$ jest równa

10°

20°

35°

40°

Okrąg o środku O z punktami A, B, C na okręgu; zaznaczony kąt ACO o mierze 70° i kąt ABC. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: bezpośrednie utożsamienie kąta $A CO$ z kątem wpisanym lub środkowym. Trzeba przejść przez trójkąt równoramienny $A OC$ (bo $O A = OC = r$ — promienie okręgu). Kąt środkowy $A OC$ ma $40°$ (odpowiedź D), a kąt wpisany $A BC$ — połowę tego.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 21 - kąt wpisany w okrąg — Strona 18 arkusza CKE - zadanie 21. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Co zrobić?

Wyznacz $∠ A BC$ (kąt wpisany w okrąg, oparty na łuku $A C$ ).

Trójkąt $A OC$ jest równoramienny. $O A = OC = r$ (oba odcinki to promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:

$∠ O A C = ∠ OC A = 70°$

Oblicz kąt $∠ A OC$ (kąt środkowy). Suma kątów trójkąta = $180°$ :

$∠ A OC = 180° - 70° - 70° = 40°$

Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany $∠ A BC$ jest oparty na tym samym łuku $A C$ co kąt środkowy $∠ A OC$ . Twierdzenie:

$∠ wpisany = \frac{1}{2} ∠ \overset{s}{ˊ} rodkowy$

$∠ A BC = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20°$

To odpowiedź B.

Po co to umieć

Twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany w okrąg jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Drugi przydatny fakt: trójkąt utworzony przez dwa promienie + cięciwę jest zawsze równoramienny.

Razem dają algorytm: trójkąt $O A C$ równoramienny → kąty $O A C, OC A$ równe → suma kątów $180°$ daje kąt środkowy → wpisany = $\frac{1}{2}$ środkowego.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „okrąg, kąt środkowy, kąt wpisany” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl