Zadanie 21

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

V.2 — stosowanie tożsamości trygonometrycznych, w tym jedynki trygonometrycznej.

Treść zadania

Zadanie 21. (0-1)

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Kąt $A CO$ ma miarę $70°$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $A BC$ jest równa

10°

20°

35°

40°

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: próba sumowania w wyrazach albo zamiany na pierwiastek. Klucz: wyłącz wspólny czynnik $sin^{2} α$ , a nawias upraszcza się do $1$ przez jedynkę trygonometryczną.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 21 (19 CKE) - tożsamość trygonometryczna — Strona 17 arkusza CKE - zadanie 19. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 17

Co zrobić?

Uprość $sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α$ .

Zauważ wspólny czynnik $sin^{2} α$ w obu składnikach:

$sin^{4} α = sin^{2} α \cdot sin^{2} α$

Wyłącz $sin^{2} α$ przed nawias:

$sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α = sin^{2} α \cdot (sin^{2} α + cos^{2} α)$

Użyj jedynki trygonometrycznej. Dla każdego kąta $α$ :

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

Zatem:

$sin^{2} α \cdot 1 = sin^{2} α$

Po co to umieć

Jedynka trygonometryczna $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ to najczęściej używana tożsamość trygonometryczna na maturze. Patrz na wyrażenie — jeśli widzisz sumę $sin^{2}$ i $cos^{2}$ , prawie zawsze da się skrócić do $1$ .

Klucz przy tego typu uproszczeniach: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź czy w nawiasie nie jest właśnie jedynka trygonometryczna.

Podobne zadania

tangens kąta, definicja przez współrzędne

Zadanie 20 (1 pkt)

### Zadanie 20. (0-1) W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150°$. **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy **A.** $24$ **B.** $72$ **C.** $36$ **D.** $36\sqrt{2}$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „tożsamości trygonometryczne, jedynka trygonometryczna" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl