Zadanie 19

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

VII.2 — korzystanie z wzorów $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ […].

Treść zadania

Zadanie 19. (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $α$ wyrażenie $sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α$ jest równe

A. $sin^{2} α$

B. $sin^{6} α \cdot cos^{2} α$

C. $sin^{4} α + 1$

D. $sin^{2} α \cdot (sin α + cos α) \cdot (sin α - cos α)$

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: próba „dodania” potęg albo rozwijania wyrazów osobno. Klucz: wyłącz wspólny czynnik $sin^{2} α$ , a nawias upraszcza się do $1$ dzięki jedynce trygonometrycznej.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 19 - tożsamość trygonometryczna — Strona 17 arkusza CKE - zadanie 19. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 17

Co zrobić?

Uprość $sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α$ .

Zauważ wspólny czynnik $sin^{2} α$ w obu składnikach:

$sin^{4} α = sin^{2} α \cdot sin^{2} α$

Wyłącz $sin^{2} α$ przed nawias:

$sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α = sin^{2} α \cdot (sin^{2} α + cos^{2} α)$

Użyj jedynki trygonometrycznej. Dla każdego kąta $α$ :

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

Zatem:

$sin^{2} α \cdot 1 = sin^{2} α$

To odpowiedź A.

Po co to umieć

Jedynka trygonometryczna $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne” CKE. Jeśli w wyrażeniu widzisz sumę $sin^{2} α$ i $cos^{2} α$ tego samego kąta, możesz ją zastąpić liczbą $1$ .

Klucz przy tego typu uproszczeniach: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź czy w nawiasie nie jest właśnie jedynka trygonometryczna.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „tożsamości trygonometryczne, jedynka trygonometryczna” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl