Zadanie 25 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 25. (0-1)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$ . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ takim, że $cos α = \frac{2}{3}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

152

45

52

10

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: warunek prostopadłości $a_{1} = - a_{2}$ zamiast $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ . Drugi błąd: liczenie punktu przecięcia bez uproszczenia układu (mnożenie ułamków).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 25 (23 CKE) - prostopadłość i przecięcie prostych — Strona 20 arkusza CKE - zadanie 23. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 20

Co zrobić?

Dwa pytania w jednym: (1) czy proste $k, l$ są prostopadłe, (2) jaki jest punkt przecięcia.

Sprawdź warunek prostopadłości. Dla prostych $y = a_{1} x + b_{1}$ i $y = a_{2} x + b_{2}$ proste są prostopadłe ⟺

$a_{1} \cdot a_{2} = - 1$

Tutaj $a_{1} = \frac{2}{3}$ , $a_{2} = - \frac{3}{2}$ :

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - \frac{6}{6} = - 1 ✓$

Proste są prostopadłe → odpowiedź A.

Znajdź punkt przecięcia. Rozwiąż układ:

$\frac{2}{3} x = - \frac{3}{2} x + 13$

Pomnóż obie strony przez $6$ , by pozbyć się ułamków:

$4 x = - 9 x + 78$

$13 x = 78$

$x = 6$

Wstaw $x = 6$ do równania $k$ :

$y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

Punkt przecięcia: $P = (6, 4)$ → odpowiedź 2.

Po co to umieć

Trzy warunki dla prostych $y = a x + b$ :

równoległe: $a_{1} = a_{2}$ (i $b_{1} \neq = b_{2}$ , inaczej to ta sama prosta)
prostopadłe: $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$
przecinające się: $a_{1} \neq = a_{2}$

Punkt przecięcia = rozwiązanie układu równań prostych. Najszybciej: porównaj prawe strony obu równań.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „geometria analityczna, prostopadłość prostych, przecięcie" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl