Zadanie 25 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 25. (0-1)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$ . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ takim, że $cos α = \frac{2}{3}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

152

45

52

10

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: pomylenie przekątnej graniastosłupa (przestrzennej) z przekątną podstawy (płaskiej, $152$ — odpowiedź A). Przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy, który nie leży z nim na jednej ścianie.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 25 - przekątna graniastosłupa — Strona 21 arkusza CKE - zadanie 25. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 21

Co zrobić?

Wyznacz długość $d$ przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z podstawą boku $15$ i kątem nachylenia $α$ ( $cos α = \frac{2}{3}$ ).

Wylicz przekątną podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $15$ . Przekątna kwadratu = $a 2$ :

$d_{p} = 152$

Zauważ trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna (wysokość bryły) tworzą trójkąt prostokątny. Kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy to kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy.

Przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy = przyprostokątna przyległa do kąta $α$ . Wówczas:

$cos α = \frac{przyleg ł a}{przeciwprostok ą tna} = \frac{d _{p}}{d}$

Podstaw dane i rozwiąż.

$\frac{2}{3} = \frac{15 2}{d}$

Pomnóż na krzyż:

$d \cdot 2 = 3 \cdot 152$

$d = \frac{45 2}{2} = 45$

To odpowiedź B.

Po co to umieć

W stereometrii kąt między prostą a płaszczyzną liczymy z trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest rzut odcinka na płaszczyznę, drugą — odcinek prostopadły do płaszczyzny.

Dla graniastosłupa prostego: przekątna graniastosłupa + przekątna podstawy + krawędź boczna = trójkąt prostokątny.