Zadanie 26 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 26. (0-4)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

(Rysunek: ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej równą $6$ oraz kątem $30°$ nachylenia do płaszczyzny podstawy.)

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej o długości 6 nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Objętość: $V = 108$

Pole całkowite: $P_{c} = 108 + 723$

Bok podstawy: $a = 63$ , wysokość ostrosłupa: $H = 3$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: pomylenie wysokości ściany bocznej ( $h_{s}$ ) z krawędzią boczną (od wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa). Zasady oceniania CKE: przyjęcie bez uzasadnienia, że ściana boczna (albo przekrój ostrosłupa) jest trójkątem równobocznym, i oparcie na tym obliczenia krawędzi podstawy daje 0 punktów (chyba że zdający poprawnie obliczy wysokość ostrosłupa — wtedy 1 pkt).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 26 - ostrosłup prawidłowy czworokątny — Strona 22 arkusza CKE - zadanie 26 (stereometria). Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Co zrobić?

Dane: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat), wysokość ściany bocznej $h_{s} = 6$ , kąt nachylenia tej wysokości do płaszczyzny podstawy $α = 30°$ . Wyznacz $V$ i $P_{c}$ .

Wyznacz bok podstawy $a$ . Trójkąt prostokątny tworzą: odcinek od środka podstawy do środka krawędzi podstawy ( $\frac{a}{2}$ ), wysokość ostrosłupa ( $H$ ) i wysokość ściany bocznej ( $h_{s}$ ).

$cos 30° = \frac{a /2}{h _{s}} = \frac{a /2}{6}$

$\frac{3}{2} = \frac{a /2}{6} ⟹ a /2 = 33 ⟹ a = 63$

Wyznacz wysokość ostrosłupa $H$ :

$sin 30° = \frac{H}{h _{s}} = \frac{H}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{H}{6} ⟹ H = 3$

Pole podstawy (kwadrat):

$P_{p} = a^{2} = (63)^{2} = 108$

Objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108$

Pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h_{s}$ ):

$P_{s} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s} = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 6 = 183$

Pole 4 ścian bocznych: $4 P_{s} = 723$ .

Pole powierzchni całkowitej:

$P_{c} = P_{p} + 4 P_{s} = 108 + 723$

Po co to umieć

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ważny jest trójkąt prostokątny: połowa krawędzi podstawy + wysokość bryły + wysokość ściany bocznej. Gdy znasz dwie z tych wielkości (albo jedną i kąt), trzecią obliczysz z twierdzenia Pitagorasa lub funkcji trygonometrycznych.

Punktacja według zasad oceniania CKE: 1 pkt — $a = 63$ albo $H = 3$ ; 2 pkt — obie te wielkości albo samo $P_{c}$ ; 3 pkt — $V = 108$ albo $P_{c}$ i $H$ ; 4 pkt — oba wyniki.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji