Zadanie 27

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

XI.1 — zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

Treść zadania

Zadanie 27. (0-1)

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K} = \frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

A. kwadrat.

B. pięciokąt foremny.

C. sześciokąt foremny.

D. siedmiokąt foremny.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: zapomnienie o wierzchołku ostrosłupa (szczycie) lub o krawędziach bocznych. Wzory: $W = n + 1$ (podstawa + wierzchołek ostrosłupa), $K = 2 n$ (krawędzie podstawy + boczne).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 27 - ostrosłup, wierzchołki i krawędzie — Strona 24 arkusza CKE - zadanie 27. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 24

Co zrobić?

Wyznacz liczbę boków podstawy $n$ , gdy $\frac{W}{K} = \frac{3}{5}$ .

Zapisz wzory dla ostrosłupa prawidłowego z $n$ -kątną podstawą:

Wierzchołki: $n$ (z podstawy) + $1$ (wierzchołek ostrosłupa) = $n + 1$
Krawędzie: $n$ (boki podstawy) + $n$ (krawędzie boczne) = $2 n$

Zastosuj warunek:

$\frac{W}{K} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{3}{5}$

Pomnóż na krzyż:

$5 (n + 1) = 6 n$ $5 n + 5 = 6 n$ $n = 5$

Wniosek: podstawa to pięciokąt foremny — odpowiedź B.

Sprawdzenie: $W = 6$ , $K = 10$ , $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ✓

Po co to umieć

Dla ostrosłupa o $n$ -kątnej podstawie:

Wierzchołki: $W = n + 1$
Krawędzie: $K = 2 n$
Ściany: $S = n + 1$

Dodatkowe sprawdzenie (poza wymaganiami egzaminu): wzór Eulera dla wielościanów wypukłych $W - K + S = 2$ . Dla ostrosłupa: $(n + 1) - 2 n + (n + 1) = 2$ ✓.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ostrosłup, wierzchołki, krawędzie” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl