Zadanie 27 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 27. (0-1)

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K} = \frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

A. kwadrat.

B. pięciokąt foremny.

C. sześciokąt foremny.

D. siedmiokąt foremny.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnej graniastosłupa (przestrzennej) z przekątną podstawy (płaskiej). Przekątna graniastosłupa to ta która biegnie od jednego wierzchołka dolnej podstawy do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 27 (25 CKE) - przekątna graniastosłupa — Strona 21 arkusza CKE - zadanie 25. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 21

Co zrobić?

Wyznacz długość $d$ przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z podstawą boku $15$ i kątem nachylenia $α$ ( $cos α = \frac{2}{3}$ ).

Wylicz przekątną podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $15$ . Przekątna kwadratu = $a 2$ :

$d_{p} = 152$

Zauważ trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość bryły tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy podstawie).

Przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy = przyprostokątna przyległa do kąta $α$ . Wówczas:

$cos α = \frac{przyleg ł a}{przeciwprostok ą tna} = \frac{d _{p}}{d}$

Podstaw dane i rozwiąż.

$\frac{2}{3} = \frac{15 2}{d}$

Pomnóż na krzyż:

$d \cdot 2 = 3 \cdot 152$

$d = \frac{45 2}{2} = 45$

Po co to umieć

W stereometrii kąt między prostą a płaszczyzną liczymy z trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest rzut prostej, drugą — odcinek prostopadły do płaszczyzny.

Klasyczny schemat dla graniastosłupa: przekątna graniastosłupa + przekątna podstawy + wysokość = trójkąt prostokątny.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „stereometria, graniastosłup, przekątna, kąt nachylenia" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl