Zadanie 28

Treść zadania

Zadanie 28. (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0, 5, 7$ (np. $57075$ , $55555$ ), jest

A. $5^{3}$

B. $2 \cdot 4^{3}$

C. $2 \cdot 3^{4}$

D. $3^{5}$

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Objętość: $V = 108$

Pole całkowite: $P_{c} = 108 + 723$

Bok podstawy: $a = 63$ , wysokość ostrosłupa: $H = 3$ .

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pomylenie wysokości ściany bocznej ( $h_{s}$ , apotema ściany) z krawędzią boczną (od wierzchołka podstawy do szczytu). To dwie różne wielkości.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 28 (26 CKE) - ostrosłup prawidłowy — Strona 22 arkusza CKE - zadanie 26 (stereometria). Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Co zrobić?

Dane: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat), wysokość ściany bocznej $h_{s} = 6$ , kąt nachylenia ściany bocznej $α = 30°$ . Wyznacz $V$ i $P_{c}$ .

Wyznacz bok podstawy $a$ . Trójkąt prostokątny: apotema podstawy ( $\frac{a}{2}$ ), wysokość ostrosłupa ( $H$ ), wysokość ściany bocznej ( $h_{s}$ ).

$cos 30° = \frac{a /2}{h _{s}} = \frac{a /2}{6}$

$\frac{3}{2} = \frac{a /2}{6} ⟹ a /2 = 33 ⟹ a = 63$

Wyznacz wysokość ostrosłupa $H$ :

$sin 30° = \frac{H}{h _{s}} = \frac{H}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{H}{6} ⟹ H = 3$

Pole podstawy (kwadrat):

$P_{p} = a^{2} = (63)^{2} = 108$

Objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108$

Pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h_{s}$ ):

$P_{s} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s} = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 6 = 183$

Pole 4 ścian bocznych: $4 P_{s} = 723$ .

Pole powierzchni całkowitej:

$P_{c} = P_{p} + 4 P_{s} = 108 + 723$

Po co to umieć

W ostrosłupie prawidłowym kluczowym trójkątem prostokątnym jest: apotema podstawy + wysokość bryły + wysokość ściany bocznej. Ten trójkąt łączy wszystkie 3 parametry. Z dwóch znanych można zawsze obliczyć trzeci (Pitagoras lub funkcje trygonometryczne).

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji