Zadanie 9

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 9 - równanie trzeciego stopnia — Strona 8 arkusza CKE - zadanie 9 (równanie wielomianowe). Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 8

Co zrobić?

Rozwiąż $3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x + 8 = 0$ .

Pogrupuj wyrazy po dwa. Spójrz na strukturę współczynników:

$3 x^{3} - 2 x^{2} ∣ - 12 x + 8$

Wyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy:

$x^{2} (3 x - 2) - 4 (3 x - 2)$

Zauważ wspólny nawias $(3 x - 2)$ i wyłącz go:

$(3 x - 2) (x^{2} - 4) = 0$

Rozłóż $x^{2} - 4$ jako różnicę kwadratów:

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

Całość:

$(3 x - 2) (x - 2) (x + 2) = 0$

Iloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0:

$3 x - 2 = 0 ⟹ x = \frac{2}{3}$
$x - 2 = 0 ⟹ x = 2$
$x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$

Po co to umieć

Grupowanie wyrazów to najszybsza metoda rozkładu wielomianów stopnia 3-4, w których współczynniki układają się parami w proporcję. Schemat: $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ z $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Drugi sposób — znaleźć wymierny pierwiastek przez wzór Bezouta: jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (po skróceniu), to $p$ dzieli wyraz wolny ( $8$ ), a $q$ dzieli najwyższy współczynnik ( $3$ ). Kandydaci: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{8}{3}$ .

Treść zadania

Zadanie 9. (0-3)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji