Zadanie 3

Rozwiązanie

$(2 n + 1)^{2} - 1 = 4 n (n + 1)$ . Iloczyn $n (n + 1)$ dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty (jedna z nich jest parzysta), więc $n (n + 1) = 2 k$ dla pewnego $k \in N$ . Stąd $4 n (n + 1) = 8 k$ — liczba podzielna przez $8$ .

Typowy błąd / pułapka

Pierwsza pułapka: rozwinięcie kwadratu z błędem, np. $(2 n + 1)^{2} = 4 n^{2} + 1$ (zapomnienie podwojonego iloczynu). Druga: dowód „przez przykład” zamiast ogólnego — sprawdzenie dla $n = 1, 2, 3$ to nie jest dowód; według zasad oceniania CKE daje 0 pkt.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 3 - dowód podzielności przez 8 — Strona 5 arkusza CKE - zadanie 3 (dowód algebraiczny). Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 5

Co zrobić?

Trzeba pokazać, że dla każdego $n \in N_{+}$ wyrażenie $(2 n + 1)^{2} - 1$ jest podzielne przez $8$ . Strategia: rozwinąć kwadrat, wyłączyć wspólny czynnik i wykorzystać fakt, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.

Rozwiń wzór skróconego mnożenia. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , więc:

$(2 n + 1)^{2} = (2 n)^{2} + 2 \cdot 2 n \cdot 1 + 1^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1$

Odejmij 1 i wyłącz wspólny czynnik.

$(2 n + 1)^{2} - 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1 - 1 = 4 n^{2} + 4 n = 4 n (n + 1)$

Zauważ kluczowy fakt: iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.

$n (n + 1)$ to iloczyn $n$ i jego następnika. Jedna z tych liczb jest parzysta (bo z dwóch kolejnych liczb dokładnie jedna jest parzysta), więc:

$n (n + 1) = 2 k dla pewnego k \in N$

Połącz wyniki.

$(2 n + 1)^{2} - 1 = 4 n (n + 1) = 4 \cdot 2 k = 8 k$

To znaczy, że $(2 n + 1)^{2} - 1$ jest podzielne przez $8$ dla każdego $n \in N_{+}$ .

Co należało dowieść.

Po co to umieć

Schemat dowodu podzielności: rozwinąć wzór skróconego mnożenia, wyłączyć wspólny czynnik, wykorzystać fakt o parzystości kolejnych liczb. Iloczyn $n$ kolejnych liczb jest podzielny przez $n!$ .

Treść zadania

Zadanie 3. (0-2)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji