Zadanie 30

Treść zadania

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby ze zbioru K jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 30 - strona 26 arkusza CKE — Strona 26 arkusza CKE z trescia zadania 30. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 26

Co losujemy?

Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru pięcioelementowego $K = {5, 6, 7, 8, 9}$ . Każde losowanie jest niezależne — wynik pierwszego nie wpływa na drugie.

Każda para $(x, y)$ , gdzie $x, y \in K$ , jest zdarzeniem elementarnym. Wszystkie pary są równo prawdopodobne.

Wyznacz $∣Ω∣$ — moc zbioru zdarzeń elementarnych.

Z reguły mnożenia: $5$ możliwości w pierwszym losowaniu × $5$ w drugim:

$∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$

Określ, kiedy suma dwóch liczb jest parzysta.

Suma $x + y$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:

obie liczby są parzyste, ALBO
obie liczby są nieparzyste

(parzysta + parzysta = parzysta; nieparzysta + nieparzysta = parzysta; parzysta + nieparzysta = nieparzysta)

Zlicz parzyste i nieparzyste elementy w zbiorze $K$ .

Parzyste: ${6, 8}$ → 2 elementy
Nieparzyste: ${5, 7, 9}$ → 3 elementy

Zlicz pary sprzyjające zdarzeniu $A$ (z reguły mnożenia + reguły dodawania):

Obie parzyste: $2 \cdot 2 = 4$ par
Obie nieparzyste: $3 \cdot 3 = 9$ par

$∣ A ∣ = 4 + 9 = 13$

Oblicz prawdopodobieństwo.

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{13}{25}$

Sposób alternatywny — drzewo stochastyczne

Z $K$ mamy: $P (parzysta) = \frac{2}{5}$ , $P (nieparzysta) = \frac{3}{5}$ .

Suma parzysta = (parzysta, parzysta) lub (nieparzysta, nieparzysta):

$P (A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$

Punktacja

1 pkt — wypisanie $∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$ ALBO podanie $∣ A ∣ = 13$ ALBO sporządzenie tabelki 5×5 ze zdarzeniami sprzyjającymi, ALBO zapisanie samego końcowego $P (A) = \frac{13}{25}$ bez metody.
2 pkt — pełna metoda + poprawny wynik $\frac{13}{25}$ .

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Co losujemy?

Sposób alternatywny — drzewo stochastyczne

Punktacja

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji