Zadanie 30

Co losujemy?

Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru pięcioelementowego $K = {5, 6, 7, 8, 9}$ . Każde losowanie jest niezależne — wynik pierwszego nie wpływa na drugie.

Każda para $(x, y)$ , gdzie $x, y \in K$ , jest zdarzeniem elementarnym. Wszystkie pary są równo prawdopodobne.

Wyznacz $∣Ω∣$ — moc zbioru zdarzeń elementarnych.

Z reguły mnożenia: $5$ możliwości w pierwszym losowaniu × $5$ w drugim:

$∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$

Określ, kiedy suma dwóch liczb jest parzysta.

Suma $x + y$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:

obie liczby są parzyste, ALBO
obie liczby są nieparzyste

(parzysta + parzysta = parzysta; nieparzysta + nieparzysta = parzysta; parzysta + nieparzysta = nieparzysta)

Zlicz parzyste i nieparzyste elementy w zbiorze $K$ .

Parzyste: ${6, 8}$ → 2 elementy
Nieparzyste: ${5, 7, 9}$ → 3 elementy

Zlicz pary sprzyjające zdarzeniu $A$ (z reguły mnożenia + reguły dodawania):

Obie parzyste: $2 \cdot 2 = 4$ par
Obie nieparzyste: $3 \cdot 3 = 9$ par

$∣ A ∣ = 4 + 9 = 13$

Oblicz prawdopodobieństwo.

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{13}{25}$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{13}{25} = 0, 52$ .

Sposób alternatywny — drzewo stochastyczne

Z $K$ mamy: $P (parzysta) = \frac{2}{5}$ , $P (nieparzysta) = \frac{3}{5}$ .

Suma parzysta = (parzysta, parzysta) lub (nieparzysta, nieparzysta):

$P (A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$

Pułapka za 0 punktów (uwaga 2 z CKE)

Jeśli rozważasz losowanie bez zwracania — CKE daje 0 punktów na całe zadanie. Treść mówi wprost „ze zwracaniem”, co oznacza, że po pierwszym losowaniu liczba wraca do zbioru i można ją wylosować ponownie. Czytaj treść uważnie.

Różnica jest istotna: bez zwracania $∣Ω∣ = 5 \cdot 4 = 20$ (a nie 25), a pary $(x, x)$ w ogóle by nie istniały.

Pułapka za 0 punktów (uwaga 1 z CKE)

Jeśli zapiszesz tylko liczbę 13 lub 25 (bez kontekstu — bez wskazania, że to mocy zbiorów $A$ i $Ω$ ) — CKE daje 0 punktów. Liczba w izolacji nie pokazuje, że rozumiesz problem.

Zapisz: „ $∣Ω∣ = 25$ , $∣ A ∣ = 13$ , zatem $P (A) = \frac{13}{25}$ ” — i dopiero to jest pełna odpowiedź na 2 punkty.

Punktacja

1 pkt — wypisanie $∣Ω∣ = 5 \cdot 5 = 25$ ALBO podanie $∣ A ∣ = 13$ ALBO sporządzenie tabelki 5×5 ze zdarzeniami sprzyjającymi, ALBO zapisanie samego końcowego $P (A) = \frac{13}{25}$ bez metody.
2 pkt — pełna metoda + poprawny wynik $\frac{13}{25}$ .

Treść zadania

Co losujemy?

Sposób alternatywny — drzewo stochastyczne

Punktacja

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji