Matura matematyki, maj 2024

Dana jest nierówność |x − 1| ≥ 3. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

Liczba (1/16)^8 · 8^16 jest równa A. 2^24, B. 2^16, C. 2^12, D. 2^8.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n² + (n+1)² + (n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Liczba log_√3 9 jest równa A. 2, B. 3, C. 4, D. 9.

Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a + b)² − (2a − b)² jest równa wartości wyrażenia A. 8a², B. 8ab, C. −8ab, D. 2b².

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 − (3/2)x < (2/3) − x jest przedział A. (−∞, −2/3), B. (−∞, 2/3), C. (−2/3, +∞), D. (2/3, +∞).

Równanie (x + 1) / ((x + 2)(x − 3)) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1). C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.

Dany jest wielomian W(x) = 3x³ + 6x² + 9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P/F): (1) Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x) = 3x i G(x) = x² + 2x + 3. (2) Liczba (−1) jest rozwiązaniem równania W(x) = 0.

Rozwiąż równanie x³ − 2x² − 3x + 6 = 0.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x i y oznaczają liczby drzew posadzonych w pierwszym i drugim sadzie. Wybierz układ równań prowadzący do x i y.

Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono dwie proste równoległe, opadające (ujemne nachylenie). Jedna przecina oś OY w punkcie (0, 3), druga — w punkcie (0, −1). Wybierz układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (−2k + 3)x + k − 1, gdzie k ∈ R. Dla jakich wartości k funkcja f jest malejąca? A. (−∞, 1), B. (−∞, −3/2), C. (1, +∞), D. (3/2, +∞).

Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x) = 3x + 6 oraz g(x) = ax + 7, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy A. −7/2, B. −2/7, C. 2/7, D. 7/2.

Na wykresie przedstawiono parabolę funkcji kwadratowej f. Wierzchołek paraboli oraz punkty przecięcia z osiami mają współrzędne całkowite. Z wykresu odczytaj: wierzchołek (1, 9), miejsca zerowe (−2, 0) i (4, 0), punkt przecięcia z osią OY (0, 8). Zadanie składa się z czterech podpunktów (14.1 — 14.4).

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (−1)^n · (n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P/F): (1) Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. (2) Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie.

Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m − 1) jest geometryczny. Określ ten ciąg: A. rosnący, B. malejący, oraz wybierz wartość m: 1. m = 1/2, 2. m = 2, 3. m = 3.

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy −1, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa −165. Oblicz różnicę tego ciągu.

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt α taki, że tg α = −3 oraz 90° < α < 180°. Wybierz DWIE prawdziwe zależności spośród: A. sin α < 0, B. sin α · cos α < 0, C. sin α · cos α > 0, D. cos α > 0, E. sin α = −1/3 · cos α, F. sin α = −3 cos α.

Liczba sin³20° + cos²20° · sin20° jest równa A. cos20°, B. sin20°, C. tg20°, D. sin20° · cos20°.

Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a ≠ b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN| = c, |NL| = d oraz |MN| = e. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość: A. a · b = c · d, B. a · d = b · c, C. a · c = b · d, D. a · b = e · e.

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Pole tego równoległoboku jest równe A. 12, B. 12√3, C. 6, D. 6√3.

W trójkącie ABC wpisanym w okrąg o środku S kąt ACB ma miarę 42°. Wybierz miarę kąta ostrego BAS. A. 42°, B. 45°, C. 48°, D. 69°.

Proste k: y = (m + 1)x + 7 oraz l: y = −2x + 7 są prostopadłe. Wartość m jest równa A. −1/2, B. 1/2, C. −3, D. 1.

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (−2, 6) oraz B = (10, 2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P = (6, 7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6, pole podstawy 15√3. Zadanie składa się z dwóch podpunktów. 25.1 — pole jednej ściany bocznej. 25.2 — wskaż rysunek, na którym poprawnie zaznaczono kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Ostrosłup F1 jest podobny do ostrosłupa F2. Objętość ostrosłupa F1 jest równa 64. Objętość ostrosłupa F2 jest równa 512. Stosunek pola powierzchni całkowitej F2 do pola powierzchni F1 jest równy ……

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. 4, B. 10, C. 24, D. 16.

Średnia arytmetyczna trzech liczb a, b, c jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb a, a, b, b, c, c jest równa A. 9, B. 6, C. 4,5, D. 18.

Na diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie. Liczby uczniów z poszczególnymi ocenami: ocena 1 — 2 uczniów, 2 — 7, 3 — 4, 4 — 3, 5 — 6, 6 — 4. Mediana ocen uzyskanych przez uczniów tej klasy jest równa A. 4,5, B. 4, C. 3,5, D. 3.

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby ze zbioru K jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

W schronisku dla zwierząt buduje się trzy identyczne prostokątne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Szerokość każdego wybiegu to y, długość (wspólny wymiar pionowy) to x. Łącznie zużyto 36 metrów siatki. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, dla których suma pól podstaw trzech wybiegów będzie największa.