Zadanie 18 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt α taki, że tg α = −3 oraz 90° < α < 180°. Wybierz DWIE prawdziwe zależności spośród: A. sin α < 0, B. sin α · cos α < 0, C. sin α · cos α > 0, D. cos α > 0, E. sin α = −1/3 · cos α, F. sin α = −3 cos α.

Kąt α w kartezjańskim układzie współrzędnych o wierzchołku w początku układu, z jednym ramieniem na dodatniej półosi Ox i drugim w drugiej ćwiartce. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

B F — sin α · cos α < 0 (II ćwiartka, różne znaki) oraz sin α = −3 cos α (z definicji tangensa).

Typowy błąd / pułapka

Pułapka to wybór E (sin α = −1/3 · cos α) — pomylenie definicji tangensa. tg α = sin α / cos α, więc z tg α = −3 wynika sin α = −3 · cos α (nie −1/3).

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 18 - strona 18 arkusza CKE — Strona 18 arkusza CKE z trescia zadania 18. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 18

Co wiemy o kącie?

$tan α = - 3$
$90° < α < 180°$ → kąt leży w drugiej ćwiartce

W drugiej ćwiartce mają miejsce konkretne znaki funkcji trygonometrycznych:

$sin α > 0$ (oś $y$ dodatnia)
$cos α < 0$ (oś $x$ ujemna)
$tan α < 0$ (iloraz $+ / -$ )

Sprawdźmy każdą odpowiedź

A: $sin α < 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $sin α > 0$ (rzędna punktu na okręgu jednostkowym jest dodatnia).

B: $sin α \cdot cos α < 0$ — PRAWDA. Iloczyn liczby dodatniej ( $sin α$ ) i ujemnej ( $cos α$ ) jest ujemny.

C: $sin α \cdot cos α > 0$ — FAŁSZ. Sprzeczne z B (i z analizą znaków).

D: $cos α > 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $cos α < 0$ .

E: $sin α = - \frac{1}{3} cos α$ — FAŁSZ. To pułapka z mylonej definicji tangensa.

F: $sin α = - 3 cos α$ — PRAWDA. Z definicji $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ i $tan α = - 3$ :

$\frac{s i n α}{c o s α} = - 3 \Rightarrow sin α = - 3 cos α$

Klucz — znaki funkcji dla kątów od 0° do 180°

dla $0° < α < 90°$ : $sin α$ , $cos α$ i $tan α$ są dodatnie
dla $90° < α < 180°$ : $sin α > 0$ , a $cos α < 0$ i $tan α < 0$

W tym zadaniu wystarczyły dwa fakty: znaki funkcji w przedziale $(90°, 180°)$ oraz tożsamość $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ .