Zadanie 17

Treść zadania

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy −1, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa −165. Oblicz różnicę tego ciągu.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 17 - strona 17 arkusza CKE — Strona 17 arkusza CKE z trescia zadania 17. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 17

Co mamy?

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ . Dane:

$a_{3} = - 1$
$S_{15} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{15} = - 165$

Szukamy różnicy $r$ .

Sposób I — wprost ze wzorów

Zapisz wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego ( $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ ):

$a_{3} = a_{1} + 2 r = - 1$

Zapisz wzór na sumę ( $S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n$ albo $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ ):

$S_{15} = \frac{2 a _{1} + 14 r}{2} \cdot 15 = - 165$

Podziel obie strony przez $15$ i pomnóż przez $2$ :

$2 a_{1} + 14 r = - 22$

$a_{1} + 7 r = - 11$

Otrzymałeś układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

${a_{1} + 2 r = - 1 a_{1} + 7 r = - 11$

Odejmij stronami pierwsze równanie od drugiego:

$5 r = - 10 \Rightarrow r = - 2$

Sposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)

Dla ciągu arytmetycznego $S_{15} = 15 \cdot a_{8}$ — bo $a_{8}$ jest środkowym wyrazem (mediana = średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego). Stąd:

$a_{8} = \frac{S _{15}}{15} = \frac{- 165}{15} = - 11$

Mamy $a_{3} = - 1$ i $a_{8} = - 11$ , a różnica „dzielona” jest na 5 kroków:

$a_{8} = a_{3} + 5 r \Rightarrow - 11 = - 1 + 5 r \Rightarrow r = - 2$

Ten sam wynik, mniej rachunków.

Punktacja CKE

1 pkt — m.in. zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ (np. $a_{3} = a_{1} + 2 r$ i wzór na $S_{15}$ ), albo obliczenie ósmego wyrazu $a_{8} = - 11$ .
2 pkt — poprawna metoda i obliczenie $r = - 2$ .

Zasady oceniania CKE (2024, s. 16–17) podają pięć przykładowych sposobów rozwiązania; akceptowane jest każde rozwiązanie merytorycznie poprawne.