Zadanie 17

Co mamy?

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ . Dane:

$a_{3} = - 1$
$S_{15} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{15} = - 165$

Szukamy różnicy $r$ .

Sposób I — wprost ze wzorów

Zapisz wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego ( $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ ):

$a_{3} = a_{1} + 2 r = - 1$

Zapisz wzór na sumę ( $S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n$ albo $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ ):

$S_{15} = \frac{2 a _{1} + 14 r}{2} \cdot 15 = - 165$

Podziel obie strony przez $15$ i pomnóż przez $2$ :

$2 a_{1} + 14 r = - 22$

$a_{1} + 7 r = - 11$

Otrzymałeś układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

${a_{1} + 2 r = - 1 a_{1} + 7 r = - 11$

Odejmij stronami pierwsze równanie od drugiego:

$5 r = - 10 \Rightarrow r = - 2$

Odpowiedź: $r = - 2$ .

Sposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)

Dla ciągu arytmetycznego $S_{15} = 15 \cdot a_{8}$ — bo $a_{8}$ jest środkowym wyrazem (mediana = średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego). Stąd:

$a_{8} = \frac{S _{15}}{15} = \frac{- 165}{15} = - 11$

Mamy $a_{3} = - 1$ i $a_{8} = - 11$ , a różnica „dzielona” jest na 5 kroków:

$a_{8} = a_{3} + 5 r \Rightarrow - 11 = - 1 + 5 r \Rightarrow r = - 2$

Ten sam wynik, mniej rachunków.

Pułapka za 0 punktów — KRYTYCZNA

CKE w kluczu pisze wprost: jeśli zdający błędnie interpretuje liczbę $- 165$ jako piętnasty wyraz ciągu, otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

To znaczy: jeśli zapiszesz $a_{15} = - 165$ zamiast $S_{15} = - 165$ , nawet jeśli dalsze obliczenia są bezbłędne — dostajesz 0. Czytaj treść uważnie. Słowa „suma piętnastu początkowych wyrazów” oznaczają $S_{15}$ , nie $a_{15}$ .

Pułapka za 1 punkt

Jeśli zapisz tylko $r = - 2$ bez obliczeń — CKE daje 1 punkt (a nie 2). Trzeba pokazać metodę, nie tylko wynik. W zadaniach otwartych za samą odpowiedź zwykle dostajesz maksymalnie połowę punktów.

Jeśli pomylisz ciąg arytmetyczny z geometrycznym (np. zaczniesz pisać $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ ) — CKE daje 0 punktów, chyba że poprawisz w trakcie.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ (jeden z wielu wariantów: $a_{3} = a_{1} + 2 r$ z $S_{15}$ , albo $a_{8} = - 11$ + $a_{8} = a_{3} + 5 r$ , itd.).
2 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $r = - 2$ .

Jest co najmniej 5 sposobów na to zadanie — wszystkie akceptowane.

Treść zadania

Co mamy?

Sposób I — wprost ze wzorów

Sposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji