Zadanie 16

Klucz do zadań z ciągiem geometrycznym (3 wyrazy)

Dla ciągu geometrycznego $(a, b, c)$ zachodzi tożsamość:

$b^{2} = a \cdot c$

(środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi sąsiednich). To najszybszy sposób.

Zastosuj wzór $b^{2} = a \cdot c$ dla $(12, 6, 2 m - 1)$ :

$6^{2} = 12 \cdot (2 m - 1)$

$36 = 24 m - 12$

Rozwiąż na $m$ .

$48 = 24 m$

$m = 2$

Sprawdź ciąg dla $m = 2$ .

Trzeci wyraz: $2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Ciąg to $(12, 6, 3)$ .

Iloraz: $q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ (i sprawdzenie: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ✓ — ten sam iloraz potwierdza, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny).

Ustal monotoniczność.

Wyrazy: $12 > 6 > 3$ — każdy kolejny jest mniejszy od poprzedniego. Ciąg jest malejący.

Można też zauważyć: dla ciągu geometrycznego o wszystkich wyrazach dodatnich, ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $0 < q < 1$ . Tutaj $q = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ → malejący ✓.

Odpowiedź: B 2 — ciąg jest malejący, $m = 2$ .

Typowy błąd

Wybór m = 3 (czyli odpowiedź 3.) wybiera ten, kto liczy „trzeci wyraz musi być $\frac{1}{2}$ poprzedniego, czyli $3$ ” — i podstawia $2 m - 1 = 3$ → $m = 2$ ✓ — ale potem przez nieuwagę zapisuje $m = 3$ . Klasyczna pułapka „rozwiąż na m, a nie na wartość wyrazu”.

Wybór A (rosnący) wybiera ten, kto nie wyliczył trzeciego wyrazu i wybrał odpowiedź losowo, albo pomylił kierunek monotoniczności mimo wyliczenia.

Bezpieczna procedura: zawsze sprawdź na końcu, czy iloraz $q = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ jest spójny. Jeśli tak — ciąg jest geometryczny i monotoniczność wynika ze znaku/wartości $q$ .

Treść zadania

Klucz do zadań z ciągiem geometrycznym (3 wyrazy)

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji