Zadanie 16 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Treść zadania

Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m − 1) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest A. rosnący / B. malejący oraz 1. m = 1/2 / 2. m = 2 / 3. m = 3.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

B 2 — ciąg jest malejący, m = 2.

Typowy błąd / pułapka

Najprościej skorzystać z własności ciągu geometrycznego: b² = a · c (środkowy wyraz do kwadratu = iloczyn sąsiednich). Można też zauważyć, że iloraz ciągu (12, 6, ...) wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 6 · 1/2 = 3, czyli 2m − 1 = 3.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 16 - strona 16 arkusza CKE — Strona 16 arkusza CKE z trescia zadania 16. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 16

Klucz do zadań z ciągiem geometrycznym (3 wyrazy)

Dla ciągu geometrycznego $(a, b, c)$ zachodzi tożsamość:

$b^{2} = a \cdot c$

(środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi sąsiednich). To najszybszy sposób.

Zastosuj wzór $b^{2} = a \cdot c$ dla $(12, 6, 2 m - 1)$ :

$6^{2} = 12 \cdot (2 m - 1)$

$36 = 24 m - 12$

Rozwiąż na $m$ .

$48 = 24 m$

$m = 2$

Sprawdź ciąg dla $m = 2$ .

Trzeci wyraz: $2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Ciąg to $(12, 6, 3)$ .

Iloraz: $q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ (i sprawdzenie: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ✓ — ten sam iloraz potwierdza, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny).

Ustal monotoniczność.

Wyrazy: $12 > 6 > 3$ — każdy kolejny jest mniejszy od poprzedniego. Ciąg jest malejący.

Można też zauważyć: dla ciągu geometrycznego o wszystkich wyrazach dodatnich, ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $0 < q < 1$ . Tutaj $q = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ → malejący ✓.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciąg geometryczny” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl