Zadanie 15

Treść zadania

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (−1)^n · (n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P/F): (1) Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. (2) Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100. Otwórz oryginalny PDF

Najpierw policz kilka wyrazów ciągu

Wzór: $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)$ .

$n$	$(- 1)^{n}$	$n - 5$	$a_{n}$
$1$	$- 1$	$- 4$	$+ 4$
$2$	$+ 1$	$- 3$	$- 3$
$3$	$- 1$	$- 2$	$+ 2$
$4$	$+ 1$	$- 1$	$- 1$
$5$	$- 1$	$0$	$0$
$6$	$+ 1$	$1$	$1$

Pierwszy wyraz: $a_{1} = 4$ . Trzeci wyraz: $a_{3} = 2$ .

Stwierdzenie (1) — czy $a_{1}$ jest dwa razy większy od $a_{3}$ ?

$a_{1} = 4, 2 \cdot a_{3} = 2 \cdot 2 = 4$

$a_{1} = 2 \cdot a_{3}$ . Stwierdzenie PRAWDA.

Stwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?

Wyliczona tabelka pokazuje: $a_{2} = - 3$ , $a_{4} = - 1$ , $a_{5} = 0$ — nie są wszystkie dodatnie. Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby zdyskwalifikować zdanie ogólne.

Stwierdzenie FAŁSZ.

Odpowiedź: P F

Typowy błąd

Na (1): niektórzy interpretują „dwa razy większy” jako „o dwa razy więcej”, czyli $a_{1} = a_{3} + 2 a_{3} = 3 a_{3}$ . CKE konsekwentnie używa konwencji „dwa razy większy = 2 ×”. To samo dotyczy „o połowę mniejszy = $\frac{1}{2}$ ×”.

Na (2): klasyczna pułapka logiczna. Stwierdzenie „wszystkie wyrazy są dodatnie” jest fałszywe, gdy choć jeden nie jest. Wystarczy znaleźć jeden wyraz nie-dodatni (tu mamy nawet kilka: $a_{2} = - 3$ , $a_{4} = - 1$ , $a_{5} = 0$ ). Nie trzeba dowodzić, że „wszystkie są niedodatnie” — to byłoby silniejsze stwierdzenie.

Strategia dla wzorów ze znakiem $(- 1)^{n}$

Jeśli we wzorze pojawia się $(- 1)^{n}$ — wynik na pewno zmienia znaki naprzemiennie. Dla nieparzystych $n$ czynnik daje $- 1$ , dla parzystych $+ 1$ . To natychmiast wyklucza stwierdzenia w stylu „wszystkie wyrazy są tego samego znaku”.

Treść zadania

Najpierw policz kilka wyrazów ciągu

Stwierdzenie (1) — czy $a_{1}$ jest dwa razy większy od $a_{3}$ ?

Stwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?

Strategia dla wzorów ze znakiem $(- 1)^{n}$

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Najpierw policz kilka wyrazów ciągu

Stwierdzenie (1) — czy a1​ jest dwa razy większy od a3​?

Stwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?

Strategia dla wzorów ze znakiem (−1)n

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Stwierdzenie (1) — czy $a_{1}$ jest dwa razy większy od $a_{3}$ ?

Strategia dla wzorów ze znakiem $(- 1)^{n}$