Zadanie 15 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Treść zadania

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (−1)^n · (n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P/F): (1) Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. (2) Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.

Typowy błąd / pułapka

„Dwa razy większy” oznacza tu a_1 = 2 · a_3 (a_1 = 4, a_3 = 2). Łatwo też zgubić znak czynnika (−1)^n: dla nieparzystych n wynosi on −1.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 15 - strona 16 arkusza CKE — Strona 16 arkusza CKE z trescia zadania 15. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 16

Najpierw policz kilka wyrazów ciągu

Wzór: $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)$ .

$n$	$(- 1)^{n}$	$n - 5$	$a_{n}$
$1$	$- 1$	$- 4$	$+ 4$
$2$	$+ 1$	$- 3$	$- 3$
$3$	$- 1$	$- 2$	$+ 2$
$4$	$+ 1$	$- 1$	$- 1$
$5$	$- 1$	$0$	$0$
$6$	$+ 1$	$1$	$1$

Pierwszy wyraz: $a_{1} = 4$ . Trzeci wyraz: $a_{3} = 2$ .

Stwierdzenie (1) — czy $a_{1}$ jest dwa razy większy od $a_{3}$ ?

$a_{1} = 4, 2 \cdot a_{3} = 2 \cdot 2 = 4$

$a_{1} = 2 \cdot a_{3}$ . Stwierdzenie PRAWDA.

Stwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?

Wyliczona tabelka pokazuje: $a_{2} = - 3$ , $a_{4} = - 1$ , $a_{5} = 0$ — nie są wszystkie dodatnie. Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby zdyskwalifikować zdanie ogólne.

Stwierdzenie FAŁSZ.

Strategia dla wzorów ze znakiem $(- 1)^{n}$

Jeśli we wzorze pojawia się $(- 1)^{n}$ — dla nieparzystych $n$ czynnik daje $- 1$ , dla parzystych $+ 1$ . Gdy drugi czynnik ma stały znak, wyrazy zmieniają znak naprzemiennie. Tu drugi czynnik $n - 5$ zmienia znak, a $a_{5} = 0$ , więc najpewniej jest policzyć kilka wyrazów, jak w tabeli powyżej.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciągi, wzór ogólny” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl