Zadanie 14

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Wykres funkcji $f$

Z wykresu odczytujemy:

• wierzchołek: $W=(1,9)$
• miejsca zerowe: $x_1=-2$, $x_2=4$
• punkt przecięcia z osią $OY$: $(0,8)$
• parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^2$)

---

14.1 — zbiór rozwiązań $f(x)\ge 0$ (1 pkt)

Nierówność $f(x)\ge 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?

Z wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $-2$ i $4$. W samych miejscach zerowych $f(x)=0$, więc warunek $\ge 0$ je obejmuje.

---

14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f(x)=-(x+1{)}^2-9$, B. $f(x)=-(x-1{)}^2+9$, C. $f(x)=-(x-1{)}^2-9$, D. $f(x)=-(x+1{)}^2+9$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f(x)=a(x-p{)}^2+q$

gdzie $(p,q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik kierunkowy.

---

14.3 — który $x$ spełnia $f(-4)=f(?)$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f(-4)=f(6)$, B. $f(-4)=f(5)$, C. $f(-4)=f(4)$, D. $f(-4)=f(7)$.

Klucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x=1$, więc oś symetrii to prosta $x=1$.

Dla każdego punktu $x_0$ istnieje punkt $x_1$ symetryczny do niego (i $f(x_0)=f(x_1)$) taki, że $x_0$ i $x_1$ są równo oddalone od $x=1$:

$\frac{x_0+x_1}{2}=1⟺x_1=2-x_0$

Dla $x_0=-4$: $x_1=2-(-4)=6$.

---

14.4 — wykresy $g(x)=f(x+3)$ oraz $h(x)=f(-x)$ (2 pkt)

Każdej z funkcji $g,h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).

$g(x)=f(x+3)$ — przesunięcie poziome

Zastąpienie $x$ przez $x+3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).

Intuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo”. Żeby to zrobić, musimy „cofnąć” wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.

Pozycja po przesunięciu:

• wierzchołek: $(1,9)\to (-2,9)$
• miejsca zerowe: $-2$ i $4$ → $-5$ i $1$
• kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian

Wśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-2,9)$ i miejscami zerowymi $-5,1$. To rysunek A.

$h(x)=f(-x)$ — odbicie symetryczne względem osi $OY$

Zastąpienie $x$ przez $-x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $OY$.

Pozycja po odbiciu:

• wierzchołek: $(1,9)\to (-1,9)$
• miejsca zerowe: $-2,4$ → $2,-4$ (czyli $-4$ i $2$)
• kształt i orientacja — bez zmian

Szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-1,9)$ i miejscami zerowymi $-4,2$. To rysunek E.

Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów

Operacja	Co robi z wykresem
$f(x)+c$	przesunięcie w górę o $c$
$f(x)-c$	przesunięcie w dół o $c$
$f(x+c)$	przesunięcie w lewo o $c$
$f(x-c)$	przesunięcie w prawo o $c$
$f(-x)$	odbicie względem osi $OY$
$-f(x)$	odbicie względem osi $OX$
$\Vert f(x)\Vert$	część pod osią $OX$ odbija się do góry
$f(\Vert x\Vert )$	część dla $x\ge 0$ kopiuje się symetrycznie na $x<0$

Te osiem reguł pokrywa wszystkie zadania o przekształceniach wykresów na maturze podstawowej. Warto je rozpoznawać natychmiast.