Zadanie 14 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Zadanie 14

Matura z matematyki, maj 2024, poziom podstawowy

Wymaganie:

14.1: V.4 — odczytywanie z wykresu funkcji przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od danej liczby; 14.2: V.9 — wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o niej lub o jej wykresie; 14.3: V.3 — odczytywanie i interpretowanie wartości funkcji określonych za pomocą wykresów; 14.4: V.12 — szkicowanie na podstawie wykresu y = f(x) wykresów y = f(x−a) i y = f(−x).

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. (Z rysunku: wierzchołek $(1, 9)$ , miejsca zerowe $- 2$ oraz $4$ , punkt przecięcia z osią $O Y$ : $(0, 8)$ ).

Zadanie 14.1. (0-1)

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f (x) \geq 0$ jest przedział ..........

Zadanie 14.2. (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

f (x) = - (x + 1)^{2} - 9

f (x) = - (x - 1)^{2} + 9

f (x) = - (x - 1)^{2} - 9

f (x) = - (x + 1)^{2} + 9

Zadanie 14.3. (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

f (- 4) = f (6)

f (- 4) = f (5)

f (- 4) = f (4)

f (- 4) = f (7)

Zadanie 14.4. (0-2)

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ następująco: $g (x) = f (x + 3)$ , $h (x) = f (- x)$ . Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ , fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji $g$ oraz fragment wykresu funkcji $h$ .

Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x) na siatce w kartezjańskim układzie współrzędnych, z wierzchołkiem i punktami przecięcia z osiami o współrzędnych całkowitych. — Materiał 1 z 3 Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 13

Rysunki A i B: fragmenty wykresów funkcji kwadratowych (parabol) na siatkach w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y). — Rysunki A–B do zadania 14.4 Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 14

Rysunki C, D, E i F: fragmenty wykresów różnych funkcji kwadratowych (parabol) na siatkach w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y). — Rysunki C–F do zadania 14.4 Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 15

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

14.1: x ∈ [−2, 4] | 14.2: B (f(x) = −(x−1)² + 9) | 14.3: A (f(−4) = f(6)) | 14.4: g↔A, h↔E

Typowy błąd / pułapka

Możliwe błędy: mylenie postaci kanonicznej i ogólnej funkcji kwadratowej, a w 14.4 — kierunek przesunięcia g(x) = f(x+3) (przesunięcie o 3 w LEWO, nie w prawo).

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 14 - strona 13 arkusza CKE — Strona 13 arkusza CKE z trescia zadania 14. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 13

Wykres funkcji $f$

Z wykresu odczytujemy:

wierzchołek: $W = (1, 9)$
miejsca zerowe: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 4$
punkt przecięcia z osią $O Y$ : $(0, 8)$
parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^{2}$ )

14.1 — zbiór rozwiązań $f (x) \geq 0$ (1 pkt)

Nierówność $f (x) \geq 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?

Z wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $- 2$ i $4$ . W samych miejscach zerowych $f (x) = 0$ , więc warunek $\geq 0$ je obejmuje.

14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f (x) = - (x + 1)^{2} - 9$ , B. $f (x) = - (x - 1)^{2} + 9$ , C. $f (x) = - (x - 1)^{2} - 9$ , D. $f (x) = - (x + 1)^{2} + 9$ .

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

gdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik przy $x^{2}$ .

Z wierzchołka $W = (1, 9)$ : $p = 1$ , $q = 9$ . Więc $f (x) = a (x - 1)^{2} + 9$ .

Z faktu, że parabola otwiera się w dół: $a < 0$ . Wszystkie odpowiedzi mają $a = - 1$ , więc to OK — weryfikujemy.

Sprawdzenie $f (0) = 8$ : $f (0) = - 1 \cdot (0 - 1)^{2} + 9 = - 1 + 9 = 8$ ✓

14.3 — który $x$ spełnia $f (- 4) = f (?)$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f (- 4) = f (6)$ , B. $f (- 4) = f (5)$ , C. $f (- 4) = f (4)$ , D. $f (- 4) = f (7)$ .

Klucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x = 1$ , więc oś symetrii to prosta $x = 1$ .

Dla każdego punktu $x_{0}$ istnieje punkt $x_{1}$ symetryczny do niego (i $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ) taki, że $x_{0}$ i $x_{1}$ są równo oddalone od $x = 1$ :

$\frac{x _{0} + x _{1}}{2} = 1 ⟺ x_{1} = 2 - x_{0}$

Dla $x_{0} = - 4$ : $x_{1} = 2 - (- 4) = 6$ .

14.4 — wykresy $g (x) = f (x + 3)$ oraz $h (x) = f (- x)$ (2 pkt)

Każdej z funkcji $g, h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).

$g (x) = f (x + 3)$ — przesunięcie poziome

Zastąpienie $x$ przez $x + 3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).

Intuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo”. Żeby to zrobić, musimy „cofnąć” wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.

Pozycja po przesunięciu:

wierzchołek: $(1, 9) \to (- 2, 9)$
miejsca zerowe: $- 2$ i $4$ → $- 5$ i $1$
kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian

Wśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(- 2, 9)$ i miejscami zerowymi $- 5, 1$ . To rysunek A.

$h (x) = f (- x)$ — odbicie symetryczne względem osi $O Y$

Zastąpienie $x$ przez $- x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $O Y$ .

Pozycja po odbiciu:

wierzchołek: $(1, 9) \to (- 1, 9)$
miejsca zerowe: $- 2, 4$ → $2, - 4$ (czyli $- 4$ i $2$ )
kształt i orientacja — bez zmian

Szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(- 1, 9)$ i miejscami zerowymi $- 4, 2$ . To rysunek E.

Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów

Operacja	Co robi z wykresem
$f (x) + c$	przesunięcie w górę o $c$
$f (x) - c$	przesunięcie w dół o $c$
$f (x + c)$	przesunięcie w lewo o $c$
$f (x - c)$	przesunięcie w prawo o $c$
$f (- x)$	odbicie względem osi $O Y$
$- f (x)$	odbicie względem osi $OX$
$∥ f (x) ∥$	część pod osią $OX$ odbija się do góry
$f (∥ x ∥)$	część dla $x \geq 0$ kopiuje się symetrycznie na $x < 0$

Treść zadania

Zadanie 14.1. (0-1)

Zadanie 14.2. (0-1)

Zadanie 14.3. (0-1)

Zadanie 14.4. (0-2)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Wykres funkcji f

14.1 — zbiór rozwiązań f(x)≥0 (1 pkt)

14.2 — wzór funkcji f (1 pkt)

14.3 — który x spełnia f(−4)=f(?) (1 pkt)

14.4 — wykresy g(x)=f(x+3) oraz h(x)=f(−x) (2 pkt)

g(x)=f(x+3) — przesunięcie poziome

h(x)=f(−x) — odbicie symetryczne względem osi OY