Zadanie 14

Wykres funkcji $f$

Z wykresu odczytujemy:

wierzchołek: $W = (1, 9)$
miejsca zerowe: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 4$
punkt przecięcia z osią $O Y$ : $(0, 8)$
parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^{2}$ )

14.1 — zbiór rozwiązań $f (x) \geq 0$ (1 pkt)

Nierówność $f (x) \geq 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?

Z wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $- 2$ i $4$ . W samych miejscach zerowych $f (x) = 0$ , więc warunek $\geq 0$ je obejmuje.

Odpowiedź 14.1: $x \in ⟨ - 2, 4 ⟩$ (przedział domknięty).

Pułapka kolejności (uwaga z klucza CKE)

Jeśli zapiszesz zbiór odwrotnie — np. $⟨ 4, - 2 ⟩$ — CKE daje 1 punkt zamiast pełnych za 14.1 (specjalna uwaga dla uczniów z dyskalkulią). Bezpieczna zasada: w przedziale mniejsza liczba zawsze po lewej.

Drugi błąd: nawiasy okrągłe $(- 2, 4)$ zamiast trójkątnych $⟨ - 2, 4 ⟩$ — okrągłe oznaczają przedział otwarty (bez końców), a tu końce $- 2$ i $4$ należą (bo nierówność jest $\geq 0$ , a w tych punktach $f = 0$ ).

14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f (x) = - (x + 1)^{2} - 9$ , B. $f (x) = - (x - 1)^{2} + 9$ , C. $f (x) = - (x - 1)^{2} - 9$ , D. $f (x) = - (x + 1)^{2} + 9$ .

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

gdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik kierunkowy.

Z wierzchołka $W = (1, 9)$ : $p = 1$ , $q = 9$ . Więc $f (x) = a (x - 1)^{2} + 9$ .

Z faktu, że parabola otwiera się w dół: $a < 0$ . Wszystkie odpowiedzi mają $a = - 1$ , więc to OK — weryfikujemy.

Sprawdzenie $f (0) = 8$ : $f (0) = - 1 \cdot (0 - 1)^{2} + 9 = - 1 + 9 = 8$ ✓

Odpowiedź 14.2: B — $f (x) = - (x - 1)^{2} + 9$ .

Pułapka znaku w postaci kanonicznej

W postaci $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ uwaga na znak: wierzchołek to $(p, q)$ , ale w nawiasie odejmujemy $p$ . Dla wierzchołka $(1, 9)$ : $f (x) = a (x - 1)^{2} + 9$ — minus w nawiasie i plus przy $q$ .

Odpowiedź D ( $- (x + 1)^{2} + 9$ ) wybiera ten, kto czyta $(x + 1)$ jako „wierzchołek w $x = + 1$ ”. Niepoprawnie — $(x + 1)^{2}$ to $(x - (- 1))^{2}$ , więc wierzchołek byłby w $x = - 1$ . Przeciwny znak.

14.3 — który $x$ spełnia $f (- 4) = f (?)$ (1 pkt)

Wybierz spośród: A. $f (- 4) = f (6)$ , B. $f (- 4) = f (5)$ , C. $f (- 4) = f (4)$ , D. $f (- 4) = f (7)$ .

Klucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x = 1$ , więc oś symetrii to prosta $x = 1$ .

Dla każdego punktu $x_{0}$ istnieje punkt $x_{1}$ symetryczny do niego (i $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ) taki, że $x_{0}$ i $x_{1}$ są równo oddalone od $x = 1$ :

$\frac{x _{0} + x _{1}}{2} = 1 ⟺ x_{1} = 2 - x_{0}$

Dla $x_{0} = - 4$ : $x_{1} = 2 - (- 4) = 6$ .

Odpowiedź 14.3: A — $f (- 4) = f (6)$ .

14.4 — wykresy $g (x) = f (x + 3)$ oraz $h (x) = f (- x)$ (2 pkt)

Każdej z funkcji $g, h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).

$g (x) = f (x + 3)$ — przesunięcie poziome

Zastąpienie $x$ przez $x + 3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).

Intuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo”. Żeby to zrobić, musimy „cofnąć” wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.

Pozycja po przesunięciu:

wierzchołek: $(1, 9) \to (- 2, 9)$
miejsca zerowe: $- 2$ i $4$ → $- 5$ i $1$
kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian

Wśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(- 2, 9)$ i miejscami zerowymi $- 5, 1$ . To rysunek A.

$h (x) = f (- x)$ — odbicie symetryczne względem osi $O Y$

Zastąpienie $x$ przez $- x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $O Y$ .

Pozycja po odbiciu:

wierzchołek: $(1, 9) \to (- 1, 9)$
miejsca zerowe: $- 2, 4$ → $2, - 4$ (czyli $- 4$ i $2$ )
kształt i orientacja — bez zmian

Szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(- 1, 9)$ i miejscami zerowymi $- 4, 2$ . To rysunek E.

Odpowiedź 14.4: $g \leftrightarrow$ A, $h \leftrightarrow$ E.

Pułapka kierunku przesunięcia

Najczęstszy błąd na całym zadaniu: ktoś dostaje $g (x) = f (x + 3)$ i myśli „plus 3 = w prawo”. To odwrotnie — plus 3 w argumencie = w lewo. Reguła pamięciowa:

$f (x - 3)$ → wykres w prawo o 3 (znak minus → przesunięcie w + kierunku)
$f (x + 3)$ → wykres w lewo o 3 (znak plus → przesunięcie w − kierunku)

Sprawdź zawsze podstawiając $x = 0$ : dla $g (x) = f (x + 3)$ mamy $g (0) = f (3)$ , więc wartość $g$ w zerze to wartość $f$ w trójce. Czyli wykres $f$ „przesunął się” — to, co było w $x = 3$ , jest teraz w $x = 0$ . To przesunięcie w lewo.

Punktacja 14.4

2 pkt — dwie poprawne odpowiedzi (A i E).
1 pkt — jedna poprawna.
0 pkt — żadnej poprawnej.

Warto zacząć od tej, której jesteś pewien — przynajmniej masz 1 pkt jeśli druga nie wyjdzie.

Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów

Operacja	Co robi z wykresem
$f (x) + c$	przesunięcie w górę o $c$
$f (x) - c$	przesunięcie w dół o $c$
$f (x + c)$	przesunięcie w lewo o $c$
$f (x - c)$	przesunięcie w prawo o $c$
$f (- x)$	odbicie względem osi $O Y$
$- f (x)$	odbicie względem osi $O X$
$∥ f (x) ∥$	część pod osią $O X$ odbija się do góry
$f (∥ x ∥)$	część dla $x \geq 0$ kopiuje się symetrycznie na $x < 0$

Te osiem reguł pokrywa wszystkie zadania o przekształceniach wykresów na maturze podstawowej. Warto je rozpoznawać natychmiast.

Treść zadania

Wykres funkcji $f$

14.1 — zbiór rozwiązań $f (x) \geq 0$ (1 pkt)

14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)

14.3 — który $x$ spełnia $f (- 4) = f (?)$ (1 pkt)

14.4 — wykresy $g (x) = f (x + 3)$ oraz $h (x) = f (- x)$ (2 pkt)

$g (x) = f (x + 3)$ — przesunięcie poziome

$h (x) = f (- x)$ — odbicie symetryczne względem osi $O Y$

Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Wykres funkcji f

14.1 — zbiór rozwiązań f(x)≥0 (1 pkt)

14.2 — wzór funkcji f (1 pkt)

14.3 — który x spełnia f(−4)=f(?) (1 pkt)

14.4 — wykresy g(x)=f(x+3) oraz h(x)=f(−x) (2 pkt)

g(x)=f(x+3) — przesunięcie poziome

h(x)=f(−x) — odbicie symetryczne względem osi OY

Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Wykres funkcji $f$

14.1 — zbiór rozwiązań $f (x) \geq 0$ (1 pkt)

14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)

14.3 — który $x$ spełnia $f (- 4) = f (?)$ (1 pkt)

14.4 — wykresy $g (x) = f (x + 3)$ oraz $h (x) = f (- x)$ (2 pkt)

$g (x) = f (x + 3)$ — przesunięcie poziome

$h (x) = f (- x)$ — odbicie symetryczne względem osi $O Y$