Zadanie 7

Co trzeba zrobić?

Rozwiązać równanie wymierne:

$\frac{x + 1}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = 0$

Czyli ustalić, dla których $x \in R$ ułamek po lewej stronie jest równy zero — oraz policzyć, ile takich rozwiązań jest.

Wyznacz dziedzinę. Ułamek ma sens tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera. Mianownikiem jest iloczyn $(x + 2) (x - 3)$ . Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

$x + 2 = 0 lub x - 3 = 0$

$x = - 2 lub x = 3$

Te dwie liczby nie należą do dziedziny równania. Dziedzina to:

$D = R ∖ {- 2, 3}$

Zastosuj zasadę: ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera).

Mianownik mamy już ograniczony przez dziedzinę. Wystarczy więc rozwiązać:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

Sprawdź, czy znalezione rozwiązanie należy do dziedziny.

Czy $- 1$ należy do $R ∖ {- 2, 3}$ ? Tak — $- 1$ nie jest ani $- 2$ , ani $3$ , więc jest w dziedzinie.

Zlicz rozwiązania. Jedno: $x = - 1$ .

Odpowiedź: B — równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = - 1$ .

Krytyczna pułapka — odpowiedź D

Najgorszy możliwy błąd to wybór D: „trzy rozwiązania: $- 1$ , $- 2$ , $3$ ”. Tak myśli osoba, która zinterpretowała zadanie jako „znajdź wszystkie $x$ , dla których któraś część wyrażenia jest zerem”. To całkowicie pomija sens równania wymiernego.

Liczby $- 2$ i $3$ są miejscami zerowymi mianownika — to znaczy, że dzielimy przez zero, co jest niedozwolone. Dla tych $x$ wyrażenie po lewej stronie w ogóle nie ma sensu, więc nie może być równe zeru (ani niczemu innemu).

Zasada na egzaminie: w równaniach wymiernych zawsze najpierw wyznacz dziedzinę, dopiero potem szukaj miejsc zerowych licznika.

Inne błędne odpowiedzi

A („nie ma rozwiązania”) — wybiera ktoś, kto myśli, że obecność mianownika z $x$ automatycznie blokuje wszystkie rozwiązania.

C („dwa: $- 2$ i $3$ ”) — wybiera ktoś, kto pomylił mianownik z licznikiem i przyrównał do zera mianownik zamiast licznika.

W obu przypadkach problem jest ten sam: brak rozróżnienia między licznikiem a mianownikiem ułamka.

Algorytm na każde równanie wymierne

Dla równania postaci $\frac{V ( x )}{W ( x )} = 0$ :

Wyznacz dziedzinę: $W (x) \neq = 0$ .
Rozwiąż $V (x) = 0$ .
Odrzuć te rozwiązania, które nie należą do dziedziny.

Jeśli pominiesz krok 3, możesz przyjąć rozwiązanie z dziedziną zera w mianowniku i stracić punkt na otwartym zadaniu albo wybrać D zamiast B na zamkniętym.

Treść zadania

Co trzeba zrobić?

Algorytm na każde równanie wymierne

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji