Zadanie 9

Co trzeba zrobić?

Trzeba rozwiązać równanie wielomianowe trzeciego stopnia:

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6 = 0$

Wielomian trzeciego stopnia ma maksymalnie trzy pierwiastki rzeczywiste. Trzeba je wszystkie znaleźć.

Najprostsza metoda to grupowanie wyrazów — pogrupowanie wyrazów po dwa i wyciągnięcie wspólnego czynnika tak, aby pojawił się ten sam dwumian w nawiasie.

Zgrupuj wyrazy w pary. Zauważ, że pierwsze dwa wyrazy ( $x^{3}$ i $- 2 x^{2}$ ) mają wspólne $x^{2}$ , a ostatnie dwa ( $- 3 x$ i $+ 6$ ) mają wspólny czynnik $- 3$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6 = (x^{3} - 2 x^{2}) + (- 3 x + 6)$

Wyciągnij wspólny czynnik z każdej pary.

$x^{2} (x - 2) - 3 (x - 2) = 0$

Teraz w obu składnikach pojawił się ten sam dwumian $(x - 2)$ — to znak, że grupowanie zadziałało.

Wyłącz $(x - 2)$ jako wspólny czynnik.

$(x - 2) (x^{2} - 3) = 0$

Wielomian został rozłożony na iloczyn dwóch czynników — dwumianu liniowego i dwumianu kwadratowego. Tu już zarobiłeś 2 z 3 punktów.

Zastosuj zasadę: iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.

$x - 2 = 0 lub x^{2} - 3 = 0$

Z pierwszego: $x = 2$ .

Z drugiego: $x^{2} = 3$ , czyli $x = 3$ lub $x = - 3$ .

Zapisz wszystkie rozwiązania.

$x \in {- 3, 3, 2}$

Rozwiązaniami równania są trzy liczby: $x = - 3$ , $x = 3$ oraz $x = 2$ .

Pułapka za 1 punkt — utrata rozwiązania

Kuszące jest, żeby z równania $x^{2} (x - 2) = 3 (x - 2)$ podzielić obie strony przez $(x - 2)$ i otrzymać $x^{2} = 3$ , czyli tylko $x = \pm 3$ . Tak nie wolno — gubisz rozwiązanie $x = 2$ .

Dlaczego? Dzielenie przez wyrażenie zawierające niewiadomą wymaga założenia, że to wyrażenie jest różne od zera. Jeśli zapomnisz dopisać „pod warunkiem, że $x \neq = 2$ ” i osobno sprawdzić, czy $x = 2$ spełnia oryginalne równanie — CKE daje co najwyżej 2 punkty z 3.

Bezpieczna droga to przeniesienie wszystkiego na jedną stronę ( $x^{2} (x - 2) - 3 (x - 2) = 0$ ) i wyłączenie nawiasu — wtedy żadnego rozwiązania nie zgubisz.

Pułapka za 0 punktów — sprawdzanie tezy

Jeśli „znajdziesz” rozwiązanie metodą prób (np. policzysz wartość wielomianu dla $x = 2$ i stwierdzisz, że wynosi $0$ ), ale nie pokażesz pełnej metody rozkładu na czynniki — dostajesz najwyżej 1 pkt (za znalezienie jednego pierwiastka). Trzeba pokazać, jak rozłożyć wielomian, żeby uzasadnić, że innych rozwiązań nie ma.

Jak zarobić wszystkie 3 punkty

Punktacja CKE:

1 pkt — zapisanie wielomianu w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników to wielomian stopnia co najwyżej drugiego, np. $W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)$ .
2 pkt — to samo + rozwiązanie jednego z równań wynikających z rozkładu (np. $x = 2$ ).
3 pkt — pełna metoda + obliczenie wszystkich trzech rozwiązań: $- 3$ , $3$ , $2$ .

Najczęstsze straty: zapomnienie o jednym rozwiązaniu lub błąd przy wyłączaniu wspólnego czynnika (myli się znak).

Treść zadania

Co trzeba zrobić?

Jak zarobić wszystkie 3 punkty

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji