Zadanie 3

Co trzeba pokazać?

Trzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyrażenie

$n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}$

daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$ . Czyli: liczba ta jest postaci $3 k + 2$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ .

Pokażę to dwoma sposobami — wybierz ten, który łatwiej zapamiętasz.

Sposób I — przekształcenie algebraiczne

Rozwiń kwadraty wzorami skróconego mnożenia.

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} = n^{2} + (n^{2} + 2 n + 1) + (n^{2} + 4 n + 4) = 3 n^{2} + 6 n + 5

Wydziel z wyrażenia jak największą wielokrotność liczby 3. Zauważ, że $3 n^{2}$ i $6 n$ są podzielne przez $3$ , a $5 = 3 + 2$ :

$3 n^{2} + 6 n + 5 = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2 = 3 (n + 1)^{2} + 2$

Wyciągnij wniosek. Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $(n + 1)^{2}$ jest również liczbą naturalną — oznaczmy ją $k = (n + 1)^{2}$ . Wtedy:

$n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} = 3 k + 2$

To znaczy, że liczba $n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ — co należało udowodnić. $■$

Sposób II — analiza reszt z dzielenia przez 3

Zauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe — przy dzieleniu przez 3 — dają reszty $1$ oraz $2$ (w pewnej kolejności).

Sprawdź, jaką resztę z dzielenia przez 3 daje kwadrat liczby w zależności od jej reszty. Niech $a$ będzie liczbą całkowitą:

jeśli $a \equiv 0 (mod 3)$ , to $a^{2} \equiv 0 (mod 3)$
jeśli $a \equiv 1 (mod 3)$ , to $a^{2} \equiv 1 (mod 3)$
jeśli $a \equiv 2 (mod 3)$ , to $a^{2} \equiv 4 \equiv 1 (mod 3)$

Wniosek: kwadrat liczby podzielnej przez 3 daje resztę 0, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1.

Zsumuj reszty trzech kwadratów. Wśród $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 i dwie niepodzielne. Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 ich kwadratów wynosi:

$0 + 1 + 1 = 2$

To znaczy, że $n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}$ daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$ . $■$

Dowód zakończony. Oba sposoby są równoważne i CKE akceptuje każdy z nich (komisja dopuszcza również inne poprawne rozumowania).

Typowy błąd — 0 punktów

Jeśli sprawdzisz tezę tylko dla kilku konkretnych wartości $n$ (np. policzysz dla $n = 1$ : $1 + 4 + 9 = 14 = 3 \cdot 4 + 2$ , dla $n = 2$ : $4 + 9 + 16 = 29 = 3 \cdot 9 + 2$ , itd.) — to NIE jest dowód. To są jedynie przykłady. CKE da za to 0 punktów na całe zadanie.

Dowód musi pokazać tezę dla każdej liczby naturalnej — czyli ogólnie, ze zmienną $n$ . Przykłady mogą służyć do sprawdzenia hipotezy w brudnopisie, ale w czystopisie muszą zostać przekształcenia algebraiczne lub rozumowanie o resztach.

Jak zdobyć 2 punkty

CKE rozdziela punktację na dwie połowy:

1 pkt — za samo prawidłowe rozwinięcie $n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} = 3 n^{2} + 6 n + 5$ , albo za pokazanie, że jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez 3.
2 pkt — za doprowadzenie rozumowania do końca, czyli pokazanie, że wynik to $3 k + 2$ dla pewnego $k$ (Sposób I) lub że suma reszt wynosi $2$ (Sposób II).

Treść zadania

Co trzeba pokazać?

Sposób I — przekształcenie algebraiczne

Sposób II — analiza reszt z dzielenia przez 3

Jak zdobyć 2 punkty

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji