Zadanie 3

Rozwiń kwadraty wzorami skróconego mnożenia.

Wydziel z wyrażenia jak największą wielokrotność liczby 3. Zauważ, że $3n^2$ i $6n$ są podzielne przez $3$, a $5=3+2$:

$3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2=3(n+1{)}^2+2$

Wyciągnij wniosek. Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1{)}^2$ jest również liczbą naturalną — oznaczmy ją $k=(n+1{)}^2$. Wtedy:

$n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2=3k+2$

To znaczy, że liczba $n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ — co należało udowodnić. $■$

Zauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n$, $n+1$, $n+2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe — przy dzieleniu przez 3 — dają reszty $1$ oraz $2$ (w pewnej kolejności).

Sprawdź, jaką resztę z dzielenia przez 3 daje kwadrat liczby w zależności od jej reszty. Niech $a$ będzie liczbą całkowitą:

• jeśli $a\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, to $a^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$
• jeśli $a\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, to $a^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$
• jeśli $a\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, to $a^2\equiv 4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

Wniosek: kwadrat liczby podzielnej przez 3 daje resztę 0, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1.

Zsumuj reszty trzech kwadratów. Wśród $n$, $n+1$, $n+2$ jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 i dwie niepodzielne. Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 ich kwadratów wynosi:

$0+1+1=2$

To znaczy, że $n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2$ daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. $■$