Zadanie 4

Co znaczy ten zapis?

Wyrażenie

$lo g_{3} 9$

czytamy: „do której potęgi trzeba podnieść $3$ , żeby otrzymać $9$ ”. Innymi słowy — szukamy takiej liczby $x$ , że:

$(3)^{x} = 9$

Sprowadź obie strony do potęg trójki.

Pierwiastek kwadratowy z trzech to po prostu $3$ podniesione do potęgi $\frac{1}{2}$ :

$3 = 3^{1/2}$

A dziewiątka to $3^{2}$ :

$9 = 3^{2}$

Zastąp w równaniu i zastosuj wzór $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ .

$(3^{1/2})^{x} = 3^{2}$

$3^{x /2} = 3^{2}$

Porównaj wykładniki. Jeśli potęgi o tej samej podstawie są równe, to ich wykładniki też muszą być równe:

$\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4$

Odpowiedź: C — $lo g_{3} 9 = 4$ .

Wzór na zmianę podstawy logarytmu mówi, że dla dowolnego $k > 0$ :

$lo g_{a^{k}} (b) = \frac{1}{k} \cdot lo g_{a} b$

Tutaj $3 = 3^{1/2}$ , więc $k = 1/2$ , $a = 3$ , $b = 9$ :

$lo g_{3} 9 = \frac{1}{1/2} \cdot lo g_{3} 9 = 2 \cdot 2 = 4$

Jeśli zapamiętałeś ten wzór — robisz całe zadanie w głowie w 5 sekund.

Typowy błąd

Dwóch rzeczy nie wolno przegapić:

$3$ to nie 1.73… — to dokładnie $3^{1/2}$ . Próba liczenia kalkulatorem zwróci $lo g_{1.73} 9 \approx 4$ , ale na egzaminie kalkulator jest tylko prosty (bez logarytmów dowolnych podstaw), więc i tak musisz to umieć zapisem algebraicznym.
Odpowiedź A (czyli $2$ ) wybiera ten, kto liczy $lo g_{3} 9 = 2$ i zapomina o pierwiastku w podstawie. Pierwiastek zwiększa wynik dwukrotnie, nie zmniejsza.