Zadanie 1

Co zrobić?

Mamy nierówność z wartością bezwzględną:

$∣ x - 1∣ \geq 3$

Trzeba znaleźć zbiór wszystkich $x \in R$ , które ją spełniają, i wskazać odpowiadający mu rysunek na osi liczbowej.

Zrozum, co znaczy moduł. Wyrażenie $∣ x - 1∣$ to odległość liczby $x$ od liczby $1$ na osi liczbowej. Nierówność $∣ x - 1∣ \geq 3$ czytamy więc: „odległość $x$ od $1$ jest co najmniej $3$ ”.

Zamień moduł na alternatywę. Dla każdej liczby $a \geq 0$ zachodzi równoważność:

$∣ x - 1∣ \geq a ⟺ x - 1 \geq a lub x - 1 \leq - a$

W naszym przypadku $a = 3$ , więc:

$x - 1 \geq 3 lub x - 1 \leq - 3$

Rozwiąż każdą z nierówności osobno:

$x - 1 \geq 3 ⟺ x \geq 4$

$x - 1 \leq - 3 ⟺ x \leq - 2$

Zapisz zbiór rozwiązań. Łączymy oba warunki spójnikiem „lub”:

$x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ 4, + \infty)$

To są dwie półproste domknięte — wszystkie liczby na lewo od $- 2$ (z $- 2$ włącznie) oraz wszystkie liczby na prawo od $4$ (z $4$ włącznie).

Odpowiedź: B — rysunek przedstawiający dwie domknięte półproste z końcami w $- 2$ i $4$ .

Typowy błąd

Najwięcej osób zaznacza odpowiedź A albo C — czyli przedział między

- 2

4

. To dokładne przeciwieństwo. Moduł

\geq 3

to liczby daleko od jedynki, nie blisko niej. Jeśli zamienisz znak nierówności na

∣ x - 1∣ \leq 3

, dopiero wtedy odpowiedzią będzie przedział

⟨ - 2, 4 ⟩

Drugi błąd — wybór D zamiast B — to pominięcie znaku równości. Skoro mamy $\geq$ , to liczby $- 2$ i $4$ spełniają nierówność (bo $∣ - 2 - 1∣ = 3$ i $∣4 - 1∣ = 3$ ), więc kółka na rysunku muszą być wypełnione, a nie puste.

Po co to umieć

Wartość bezwzględna pojawia się na maturze średnio raz na każdej sesji. Zadanie sprawdza, czy rozumiesz geometryczne znaczenie modułu — i czy nie pomylisz kierunku nierówności. To podstawa do trudniejszych zadań z modułów na poziomie rozszerzonym.

Treść zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji