Zadanie 6

Co trzeba zrobić?

Rozwiązać nierówność:

$1 - \frac{3}{2} x < \frac{2}{3} - x$

— czyli znaleźć zbiór wszystkich $x$ , dla których ta nierówność jest prawdziwa, i wskazać odpowiadający mu przedział.

Przenieś wszystkie wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą. Najwygodniej: $x$ -y zostawiamy po prawej, liczby po lewej. Dodajemy $x$ do obu stron i odejmujemy $\frac{2}{3}$ z obu stron:

$1 - \frac{2}{3} < - x + \frac{3}{2} x$

Uprość każdą stronę.

Lewa: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .

Prawa: $- x + \frac{3}{2} x = \frac{- 2 x + 3 x}{2} = \frac{x}{2}$ .

Otrzymujemy:

$\frac{1}{3} < \frac{x}{2}$

Pomnoż obie strony przez $2$ (dodatnia liczba — kierunek nierówności bez zmian):

$\frac{2}{3} < x$

To jest dokładnie warunek, że $x$ jest większe od $\frac{2}{3}$ .

Zapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

$x \in (\frac{2}{3}, + \infty)$

Odpowiedź: D — $(\frac{2}{3}, + \infty)$ .

Typowe błędy

B ( $- \infty, \frac{2}{3}$ ) wybiera ten, kto zostawił $x$ po lewej stronie i pomylił znak. Po przeniesieniu $- x$ na lewą stronę zmieniasz znak na $+ x$ — to często umyka.

Pułapka kierunku nierówności: gdyby ktoś chciał zacząć od podzielenia obu stron przez $- 1$ (np. aby pozbyć się minusa po prawej), musi odwrócić znak $<$ na $>$ . To nie ten przypadek, ale ogólna zasada — najczęstsza wpadka przy nierównościach.

A i C ( $\pm 2/3$ z minusem) — błąd arytmetyczny przy upraszczaniu prawej strony lub mylenie $- x$ z $+ x$ .

Sposób alternatywny — mnożenie na samym początku

Czasem łatwiej pozbyć się ułamków od razu. Pomnóż obie strony przez $6$ (NWW mianowników 2 i 3):

$6 - 9 x < 4 - 6 x$

Przenieś $- 6 x$ na lewą, $6$ na prawą:

$- 9 x + 6 x < 4 - 6$

$- 3 x < - 2$

Podziel obie strony przez $- 3$ — uwaga, dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak:

$x > \frac{2}{3}$

Ten sam wynik. Ta wersja jest szybsza, ale ma w sobie pułapkę zmiany znaku — w stresie egzaminacyjnym łatwo o niej zapomnieć i wybrać błędną odpowiedź B.

Treść zadania

Co trzeba zrobić?

Sposób alternatywny — mnożenie na samym początku

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji