Zadanie 20

Treść zadania

Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a ≠ b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN| = c, |NL| = d oraz |MN| = e. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość: A. a · b = c · d, B. a · d = b · c, C. a · c = b · d, D. a · b = e · e.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100. Otwórz oryginalny PDF

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Jeśli dwusieczna kąta w wierzchołku $M$ trójkąta $K L M$ przecina przeciwległy bok $K L$ w punkcie $N$ , to:

$\frac{∣ K N ∣}{∣ N L ∣} = \frac{∣ K M ∣}{∣ L M ∣}$

— odcinki, na które dwusieczna dzieli bok przeciwległy, są proporcjonalne do boków przyległych do dzielonego kąta.

Podstaw oznaczenia z zadania

Mamy: $∣ K M ∣ = a$ , $∣ L M ∣ = b$ , $∣ K N ∣ = c$ , $∣ N L ∣ = d$ , $∣ M N ∣ = e$ .

Zapisz proporcję twierdzenia.

$\frac{∣ K N ∣}{∣ N L ∣} = \frac{∣ K M ∣}{∣ L M ∣} ⟺ \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$

Pomnóż na krzyż (właściwość proporcji $\frac{x}{y} = \frac{u}{v} ⟺ x \cdot v = y \cdot u$ ):

$c \cdot b = d \cdot a$

czyli

$a \cdot d = b \cdot c$

Odpowiedź: B — $a \cdot d = b \cdot c$ .

Typowy błąd

Odpowiedź C ( $a \cdot c = b \cdot d$ ) wybiera ten, kto pomylił, który odcinek leży po stronie którego boku. Twierdzenie mówi: po stronie boku $a$ (czyli przy wierzchołku $K$ , do którego $a$ idzie) jest odcinek $c = ∣ K N ∣$ , a po stronie $b$ — odcinek $d = ∣ N L ∣$ . Stąd $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ , czyli $a \cdot d = b \cdot c$ .

Odpowiedź D ( $a \cdot b = e^{2}$ ) — to twierdzenie o wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym, nie o dwusiecznej. Nieaktualne tutaj.

Odpowiedź A ( $a \cdot b = c \cdot d$ ) wygląda jak skojarzenie z twierdzeniem o cięciwie w okręgu, ale tu nie ma okręgu — nie pasuje.

Skrót pamięciowy

Dwusieczna dzieli bok w stosunku boków przyległych — przy każdym wierzchołku „swój” odcinek odpowiada „swojemu” bokowi. Jeśli w wątpliwości — narysuj sobie szybki szkic i podpisz, który bok wychodzi z którego wierzchołka. Pomyłka w 5 sekundach widoczna.

Treść zadania

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Podstaw oznaczenia z zadania

Skrót pamięciowy

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji