Zadanie 20 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a ≠ b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN| = c, |NL| = d oraz |MN| = e. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość

A. a · b = c · dB. a · d = b · cC. a · c = b · dD. a · b = e · e

Trójkąt KLM z bokami |KM| = a, |LM| = b i dwusieczną MN kąta KML o długości e, dzielącą bok KL na odcinki c i d. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 19

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Mylenie kolejności w twierdzeniu o dwusiecznej. Bezpiecznie: „bok przy wierzchołku K (a) ma się do odcinka po stronie K (c) tak, jak bok przy wierzchołku L (b) ma się do odcinka po stronie L (d)" — czyli a/c = b/d, równoważnie a · d = b · c.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 20 - strona 19 arkusza CKE — Strona 19 arkusza CKE z trescia zadania 20. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 19

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

Jeśli dwusieczna kąta w wierzchołku $M$ trójkąta $K L M$ przecina przeciwległy bok $K L$ w punkcie $N$ , to:

$\frac{∣ K N ∣}{∣ N L ∣} = \frac{∣ K M ∣}{∣ L M ∣}$

— odcinki, na które dwusieczna dzieli bok przeciwległy, są proporcjonalne do boków przyległych do dzielonego kąta.

Podstaw oznaczenia z zadania

Mamy: $∣ K M ∣ = a$ , $∣ L M ∣ = b$ , $∣ K N ∣ = c$ , $∣ N L ∣ = d$ , $∣ MN ∣ = e$ .

Zapisz proporcję twierdzenia.

$\frac{∣ K N ∣}{∣ N L ∣} = \frac{∣ K M ∣}{∣ L M ∣} ⟺ \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$

Pomnóż na krzyż (właściwość proporcji $\frac{x}{y} = \frac{u}{v} ⟺ x \cdot v = y \cdot u$ ):

$c \cdot b = d \cdot a$

czyli

$a \cdot d = b \cdot c$

Skrót pamięciowy

Dwusieczna dzieli bok w stosunku boków przyległych — przy każdym wierzchołku „swój” odcinek odpowiada „swojemu” bokowi. Jeśli masz wątpliwości — narysuj szybki szkic i podpisz, który bok wychodzi z którego wierzchołka.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „planimetria, twierdzenie o dwusiecznej kąta” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl