Zadanie 22

Dwa kluczowe fakty o okręgach

Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy.
Trójkąt utworzony przez dwa promienie (i cięciwę) jest równoramienny — jego oba kąty przy podstawie są równe.

To wszystko, czego potrzebujemy.

Zidentyfikuj relacje. $S$ jest środkiem okręgu, więc $∣ S A ∣ = ∣ S B ∣$ (oba to promienie). Trójkąt $A S B$ jest równoramienny z wierzchołkiem $S$ .

Kąt $A C B = 42°$ to kąt wpisany oparty na łuku $A B$ .

Kąt $A S B$ to kąt środkowy oparty na tym samym łuku $A B$ .

Oblicz kąt środkowy. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:

$∠ A S B = 2 \cdot ∠ A C B = 2 \cdot 42° = 84°$

Oblicz kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego $A S B$ . Suma kątów w trójkącie to $180°$ , więc:

$∠ S A B + ∠ S B A + ∠ A S B = 180°$

$∠ S A B + ∠ S B A = 180° - 84° = 96°$

Ponieważ trójkąt $A S B$ jest równoramienny, jego kąty przy podstawie $A B$ są równe:

$∠ S A B = ∠ S B A = \frac{96°}{2} = 48°$

Kąt $B A S$ to to samo co $∠ S A B$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $A$ ). Czyli:

$∠ B A S = 48°$

Odpowiedź: C — kąt $B A S$ ma miarę $48°$ .

Typowe błędy

Odpowiedź A ( $42°$ ) — wybiera ten, kto myli kąt $B A S$ (kąt w trójkącie $A S B$ ) z kątem $A C B$ (kąt wpisany trójkąta $A B C$ ). To są dwa różne kąty, w dwóch różnych trójkątach.

Odpowiedź D ( $69°$ ) — błąd z trójkąta równobocznego: ktoś zapomniał, że $A$ , $S$ , $B$ tworzą trójkąt równoramienny (nie równoboczny), i policzył $180°/2 - co \overset{s}{ˊ}$ .

Odpowiedź B ( $45°$ ) — typowy „strzał” wartości znanej; brak prawdziwych obliczeń.

Klucz — kąty w okręgu na maturze

Najczęściej testowane fakty:

Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku)
Kąt wpisany oparty na średnicy to zawsze $90°$ (twierdzenie Talesa)
Trójkąt zbudowany z dwóch promieni jest równoramienny
Czworokąt wpisany w okrąg ma sumy przeciwległych kątów równe $180°$

90% zadań z okręgów na maturze podstawowej da się rozwiązać kombinacją tych czterech faktów.

Treść zadania

Dwa kluczowe fakty o okręgach

Klucz — kąty w okręgu na maturze

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji