Zadanie 23

Warunek prostopadłości prostych

Dwie proste w postaci kierunkowej $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_{1} \cdot a_{2} = - 1$

(iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ ).

Warto pamiętać dla porównania: są równoległe, gdy $a_{1} = a_{2}$ (równe współczynniki, a nie iloczyn).

Zidentyfikuj współczynniki kierunkowe.

Prosta $k$ : $a_{1} = m + 1$
Prosta $l$ : $a_{2} = - 2$

Zastosuj warunek prostopadłości.

$(m + 1) \cdot (- 2) = - 1$

Rozwiąż równanie.

$- 2 (m + 1) = - 1$

$- 2 m - 2 = - 1$

$- 2 m = 1$

$m = - \frac{1}{2}$

Odpowiedź: A — $m = - \frac{1}{2}$ .

Typowe błędy

Odpowiedź C ( $- 3$ ) wybiera ten, kto użył warunku równoległości zamiast prostopadłości: $m + 1 = - 2 \Rightarrow m = - 3$ . Pamiętaj — równoległość = równe współczynniki, prostopadłość = iloczyn $- 1$ .

Odpowiedź B ( $\frac{1}{2}$ ) — błąd znaku przy rozwiązywaniu: ktoś podzielił $- 1$ przez $- 2$ jako $\frac{1}{2}$ , ale wcześniej pomylił znak przy $m + 1$ .

Odpowiedź D ( $1$ ) — błąd metody: traktowanie warunku jak $(m + 1) + (- 2) = - 1$ (suma zamiast iloczynu).

Sprawdzenie

Dla $m = - \frac{1}{2}$ : prosta $k$ ma współczynnik $a_{1} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ . Iloczyn: $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ ✓. Prostopadłość spełniona.

Klucz uniwersalny

Cztery typowe warunki dla par prostych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ :

Relacja	Warunek
Równoległe	$a_{1} = a_{2}$ i $b_{1} \neq = b_{2}$
Pokrywają się	$a_{1} = a_{2}$ i $b_{1} = b_{2}$
Prostopadłe	$a_{1} \cdot a_{2} = - 1$
Przecinają się	$a_{1} \neq = a_{2}$

Każde zadanie z parą prostych w postaci kierunkowej sprowadza się do tej tabelki + arytmetyki na $a$ i $b$ .

Treść zadania

Warunek prostopadłości prostych

Sprawdzenie

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji