Zadanie 24

Co wiemy o równoległoboku?

W równoległoboku $ABCD$ przekątne przecinają się w połowie — punkt $P$ jest jednocześnie środkiem $AC$ i środkiem $BD$.

Z tego natychmiast wynika: znając $A$ i $P$, znajdziemy $C$. Znając $B$ i $P$, znajdziemy $D$.

A skoro w równoległoboku $|BC|=|AD|$ (przeciwległe boki) — możemy obliczyć $|BC|$ na kilka równoważnych sposobów.

Sposób I — przez wyznaczenie punktu $C$

Sposób II — przez wyznaczenie punktu $D$ i równość $|BC|=|AD|$

W równoległoboku $|BC|=|AD|$. Wyznacz $D$ jako symetryczny do $B$ względem $P$:

$\frac{10+x_D}{2}=6\Rightarrow x_D=2,\frac{2+y_D}{2}=7\Rightarrow y_D=12$

Czyli $D=(2,12)$. Wtedy:

$|AD|=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(12-6{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Ten sam wynik — bo $|BC|=|AD|$.

Sposób III — przez środek $S$ boku $AB$ (najsprytniejszy)

W trójkącie $ABC$ punkt $P$ leży na środkowej z $C$ — ale dla naszych celów wystarczy obserwacja, że odcinek $PS$ (gdzie $S$ to środek $AB$) jest równoległy do $BC$ i ma połowę jego długości (linia środkowa w trójkącie):

Środek $AB$: $S=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(4,4)$.

$|PS|=\sqrt{(4-6{)}^2+(4-7{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

$|BC|=2\cdot |PS|=2\sqrt{13}$

Punktacja

• 1 pkt — wyznaczenie $C=(14,8)$ (albo $D=(2,12)$, albo środka $S=(4,4)$, albo wektorów $\overrightarrow{CB}$).
• 2 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie $|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Trzy równoważne ścieżki — wybierz dowolną. Sprytniejsza (sposób III) wymaga mniej rachunku, ale wymaga zauważenia linii środkowej.