Zadanie 31 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PP

Treść zadania

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku: wybiegi stoją obok siebie, każdy ma wymiary x na y, bok x jest wspólny dla sąsiednich wybiegów). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Schematyczny rysunek trzech przylegających prostokątnych wybiegów (widok z góry) o wymiarach x na y, z siatką zaznaczoną linią przerywaną. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405 Oryginalny PDF CKE, str. 27

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

x = 4,5 m oraz y = 3 m (suma pól = 40,5 m²)

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd to złe policzenie łącznej długości siatki — z rysunku widać, że potrzeba: dwóch ścian długości 3y (góra i dół) PLUS czterech ścian długości x (dwie zewnętrzne pionowe + dwie wewnętrzne między wybiegami). Czyli 2·(3y) + 4·x = 36, nie 2·(3y) + 2·x = 36.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 31 - strona 27 arkusza CKE — Strona 27 arkusza CKE z trescia zadania 31. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 27

Rozumienie problemu

Trzy identyczne prostokątne wybiegi stoją obok siebie, dzieląc ściany wewnętrzne. Patrząc na rysunek:

góra i dół całej konstrukcji — dwa odcinki długości $3 y$ (cała szerokość)
boki zewnętrzne (lewa i prawa) — dwa odcinki długości $x$
ściany wewnętrzne (między wybiegami) — dwa odcinki długości $x$ każdy

Łącznie siatki: $2 \cdot 3 y + 2 x + 2 x = 6 y + 4 x$ .

Zapisz równanie wiążące $x$ i $y$ .

$6 y + 4 x = 36$

Podziel obie strony przez $2$ :

$3 y + 2 x = 18 \Rightarrow y = \frac{18 - 2 x}{3} = 6 - \frac{2 x}{3}$

Dziedzina: $x > 0$ oraz $y > 0$ . Z $y > 0$ : $6 - \frac{2 x}{3} > 0 \Rightarrow x < 9$ . Zatem $x \in (0, 9)$ .

Wyraź sumę pól trzech wybiegów jako funkcję $x$ .

Każdy wybieg ma wymiar $x \times y$ , więc pole jednego to $x \cdot y$ . Suma pól trzech:

$S (x) = 3 \cdot x \cdot y = 3 x \cdot (6 - \frac{2 x}{3}) = 18 x - 2 x^{2}$

To jest funkcja kwadratowa $S (x) = - 2 x^{2} + 18 x$ z ujemnym współczynnikiem przy $x^{2}$ — parabola otwierająca się w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.

Współrzędna $x$ wierzchołka: $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ , gdzie $a = - 2$ , $b = 18$ :

$x_{w} = - \frac{18}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{18}{- 4} = \frac{18}{4} = 4, 5$

Sprawdź, czy $x_{w}$ jest w dziedzinie. $x_{w} = 4, 5 \in (0, 9)$ ✓.

Oblicz odpowiadające $y$ .

$y = 6 - \frac{2 \cdot 4 , 5}{3} = 6 - 3 = 3$

(Opcjonalnie) — oblicz maksymalną sumę pól.

$S (4, 5) = 18 \cdot 4, 5 - 2 \cdot (4, 5)^{2} = 81 - 40, 5 = 40, 5 m^{2}$

Klucz — typ zadania optymalizacyjnego

To klasyczny schemat: „coś” jest ograniczone (suma materiału, obwód) → wyraź jedną zmienną przez drugą → zapisz wielkość do maksymalizacji jako funkcję jednej zmiennej → znajdź wierzchołek paraboli.

Procedura:

Zapisz warunek — jakie równanie zachodzi między zmiennymi?
Wyraź jedną zmienną ( $y$ przez $x$ albo odwrotnie).
Zapisz funkcję celu (sumę pól, objętość, długość itp.) używając tylko jednej zmiennej.
Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne są dodatnie?
Znajdź wierzchołek paraboli ( $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ ) i sprawdź, czy jest w dziedzinie.
Oblicz drugą zmienną i (opcjonalnie) wartość maksymalną.

Punktacja CKE

W skrócie, według zasad oceniania CKE (2024):

1 pkt — zapisanie równania $3 y + 2 x = 18$ (albo $6 y + 4 x = 36$ ).
2 pkt — dodatkowo zapisanie funkcji $S (x) = - 2 x^{2} + 18 x$ (albo równoważnej).
3 pkt — dodatkowo obliczenie $x = 4, 5$ .
4 pkt — pełne rozwiązanie z $x = 4, 5$ i $y = 3$ .