Zadanie 31

Rozumienie problemu

Trzy identyczne prostokątne wybiegi stoją obok siebie, dzieląc ściany wewnętrzne. Patrząc na rysunek:

góra i dół całej konstrukcji — dwa odcinki długości $3 y$ (cała szerokość)
boki zewnętrzne (lewa i prawa) — dwa odcinki długości $x$
ściany wewnętrzne (między wybiegami) — dwa odcinki długości $x$ każdy

Łącznie siatki: $2 \cdot 3 y + 2 x + 2 x = 6 y + 4 x$ .

Zapisz równanie wiążące $x$ i $y$ .

$6 y + 4 x = 36$

Podziel obie strony przez $2$ :

$3 y + 2 x = 18 \Rightarrow y = \frac{18 - 2 x}{3} = 6 - \frac{2 x}{3}$

Dziedzina: $x > 0$ oraz $y > 0$ . Z $y > 0$ : $6 - \frac{2 x}{3} > 0 \Rightarrow x < 9$ . Zatem $x \in (0, 9)$ .

Wyraź sumę pól trzech wybiegów jako funkcję $x$ .

Każdy wybieg ma wymiar $x \times y$ , więc pole jednego to $x \cdot y$ . Suma pól trzech:

$S (x) = 3 \cdot x \cdot y = 3 x \cdot (6 - \frac{2 x}{3}) = 18 x - 2 x^{2}$

To jest funkcja kwadratowa $S (x) = - 2 x^{2} + 18 x$ z ujemnym współczynnikiem przy $x^{2}$ — parabola otwierająca się w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.

Współrzędna $x$ wierzchołka: $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ , gdzie $a = - 2$ , $b = 18$ :

$x_{w} = - \frac{18}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{18}{- 4} = \frac{18}{4} = 4, 5$

Sprawdź, czy $x_{w}$ jest w dziedzinie. $x_{w} = 4, 5 \in (0, 9)$ ✓.

Oblicz odpowiadające $y$ .

$y = 6 - \frac{2 \cdot 4 , 5}{3} = 6 - 3 = 3$

(Opcjonalnie) — oblicz maksymalną sumę pól.

$S (4, 5) = 18 \cdot 4, 5 - 2 \cdot (4, 5)^{2} = 81 - 40, 5 = 40, 5 m^{2}$

Odpowiedź: $x = 4, 5$ m oraz $y = 3$ m. Maksymalna suma pól: $40, 5$ m².

Najgorszy błąd — zła geometria

Jeśli policzysz siatkę jako $2 \cdot 3 y + 2 \cdot x = 36$ (czyli tylko obwód zewnętrznego prostokąta, bez ścian wewnętrznych) — dostaniesz inny wynik i niepełne punkty. Schronisko wymaga odgrodzenia każdego wybiegu osobno — ściany wewnętrzne też kosztują siatkę.

Sprawdź na rysunku: ile odcinków pionowych (długości $x$ ) widzisz? Cztery: dwie zewnętrzne (lewa, prawa) i dwie wewnętrzne (między wybiegami). Suma $4 x$ , nie $2 x$ .

Pułapka za 2 pkt zamiast 4

Wyznaczenie tylko $x = 4, 5$ bez podania $y$ → CKE daje maksymalnie 3 pkt. Zadanie pyta o wymiary, czyli oba $x$ i $y$ .

Wyznaczenie tylko wzoru $S (x)$ bez znalezienia wierzchołka → 2 pkt.

Brak sprawdzenia, że $x_{w}$ leży w dziedzinie → CKE nie obniża punktów, ale to dobry nawyk dla trudniejszych zadań na rozszerzonym.

Klucz — typ zadania optymalizacyjnego

To klasyczny schemat: „coś” jest ograniczone (suma materiału, obwód) → wyraź jedną zmienną przez drugą → zapisz wielkość do maksymalizacji jako funkcję jednej zmiennej → znajdź wierzchołek paraboli.

Procedura:

Wyłap wiązanie (constraint) — jakie równanie zachodzi między zmiennymi?
Wyraź jedną zmienną ( $y$ przez $x$ albo odwrotnie).
Zapisz funkcję celu (sumę pól, objętość, długość itp.) używając tylko jednej zmiennej.
Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne są dodatnie?
Znajdź wierzchołek paraboli ( $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ ) i sprawdź, czy jest w dziedzinie.
Oblicz drugą zmienną i (opcjonalnie) wartość maksymalną.

Punktacja CKE: 4 pkt to zwykle pełne rozwiązanie z wymiarami plus maksimum. 3 pkt — funkcja + argument maksimum. 2 pkt — sama funkcja $S (x)$ bez maksimum. 1 pkt — tylko wiązanie $3 y + 2 x = 18$ bez funkcji celu.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie równania $3 y + 2 x = 18$ (albo $6 y + 4 x = 36$ ).
2 pkt — dodatkowo zapisanie funkcji $S (x) = - 2 x^{2} + 18 x$ (albo równoważnej).
3 pkt — dodatkowo obliczenie $x = 4, 5$ .
4 pkt — pełne rozwiązanie z $x = 4, 5$ i $y = 3$ .

Treść zadania

Rozumienie problemu

Klucz — typ zadania optymalizacyjnego

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji