Zadanie 25

Klucz — co to znaczy „prawidłowy sześciokątny”?

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny (regularny — wszystkie boki i kąty równe).

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ :

$P_{podst} = 6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$

(bo sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$ ).

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach $a \times h$ , więc jej pole to $a \cdot h$ .

Wyznacz bok $a$ z pola podstawy.

$\frac{3 a ^{2} 3}{2} = 153$

Pomnóż obie strony przez $2$ :

$3 a^{2} 3 = 303$

Podziel przez $33$ :

$a^{2} = 10 \Rightarrow a = 10$

Oblicz pole ściany bocznej.

$P_{boczna} = a \cdot h = 10 \cdot 6 = 610$

Odpowiedź: C — $610$ .

Typowe błędy

Odpowiedź A ( $3610$ ) — pomylenie pola wszystkich sześciu ścian bocznych z polem jednej ściany: $6 \cdot 610 = 3610$ . Pytanie dotyczy jednej ściany — przeczytaj treść uważnie.

Odpowiedź B ( $60$ ) — błąd w obliczaniu $a$ : ktoś potraktował podstawę jak kwadrat o polu $153$ , dostał $a = 153$ czy coś podobnie nieintuicyjnego.

Odpowiedź D ( $360$ ) — pole pełnej powierzchni bocznej $6 \cdot a \cdot h = 6 \cdot 10 \cdot 6 \neq = 360$ . Wartość $360$ wynika z innego błędu (np. $6 \cdot 10 \cdot 6$ ).

Klucz — wzór na sześciokąt foremny

Najprościej zapamiętać: sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych.

Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\frac{a ^{2} 3}{4}$ . Sześciokąt: $6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$ .

Ten wzór jest też w „Wybranych wzorach matematycznych” CKE, ale na sześciokącie foremnym pojawia się co drugą sesję matury — warto go mieć w głowie.

25.2 — kąt nachylenia najdłuższej przekątnej (1 pkt)

Pytanie: który z rysunków A–D pokazuje poprawnie zaznaczony kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy?

Krok 1 — która przekątna jest najdłuższa?

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy trzy rodzaje przekątnych przestrzennych (łączących wierzchołek dolnej i górnej podstawy, niesąsiednich):

Rodzaj	Rzut na podstawę	Długość rzutu	Długość przekątnej 3D
krótka	bok	$a$	$a^{2} + h^{2}$
średnia	przekątna „przez 1 wierzchołek”	$a 3$	$3 a^{2} + h^{2}$
długa	najdłuższa przekątna sześciokąta (przez środek)	$2 a$	$4 a^{2} + h^{2}$

Najdłuższa to ta, której rzut na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego — czyli odcinek między dwoma przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta (przechodzący przez środek). Ma długość $2 a$ .

W naszym graniastosłupie: $a = 10$ , $h = 6$ , więc najdłuższa przekątna 3D ma długość $4 \cdot 10 + 36 = 76$ .

Krok 2 — kąt nachylenia do płaszczyzny

Kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny to kąt między odcinkiem a jego rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę.

Rzut najdłuższej przekątnej 3D na podstawę = najdłuższa przekątna sześciokąta (odcinek długości $2 a$ łączący dwa przeciwległe wierzchołki dolnej podstawy).

Zatem szukany kąt znajduje się w dolnej podstawie, między:

najdłuższą przekątną podstawy (idącą od jednego wierzchołka do przeciwległego), oraz
przekątną 3D (idącą od tego samego wierzchołka w górę i ukośnie do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy).

Krok 3 — który rysunek to pokazuje?

Spośród czterech rysunków szukamy tego, na którym:

Przekątna 3D startuje z wierzchołka dolnej podstawy i kończy się w wierzchołku przeciwległym górnej podstawy (przechodzi przez „środek” bryły).
Kąt zaznaczony przy wierzchołku dolnym jest między tą przekątną a przekątną dolnej podstawy (najdłuższą — idącą od tego wierzchołka do wierzchołka przeciwległego dolnej podstawy).

To rysunek D.

Odpowiedź 25.2: D

Typowe błędy

Odpowiedź A — przekątna prowadzi do wierzchołka górnej podstawy leżącego bezpośrednio nad sąsiednim dolnym, a nie nad przeciwległym. Taka przekątna jest krótsza niż „najdłuższa”.

Odpowiedź B — kąt zaznaczony między przekątną 3D a krawędzią boczną (czyli wysokością) — to kąt nachylenia do osi pionowej, a nie do podstawy. Dopełniający do tego, którego szukamy.

Odpowiedź C — kąt zaznaczony między przekątną 3D a bokiem podstawy zamiast najdłuższej przekątnej podstawy. Inny kąt.

Klucz — kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Procedura uniwersalna:

Wybierz prostą (tu: najdłuższą przekątną 3D).
Wyznacz jej rzut prostopadły na płaszczyznę (tu: rzutem jest najdłuższa przekątna podstawy).
Kąt nachylenia to kąt między prostą a jej rzutem — leży w płaszczyźnie, jeden z jego ramion to rzut, drugi to sama prosta.

Te trzy kroki są właściwe dla każdego zadania o kącie nachylenia — w graniastosłupach, ostrosłupach, czy stożku.

Treść zadania